- Ulteriori informazioni sull'immersione e sulle geodetiche.
Non tutte le superfici possono essere immerse in R³. Ad esempio, consideriamo la metrica (134)
dove Rs > 0 e r > 0
è definita su R modulo 2 
Espressa con queste coordinate particolari [ r , ], questo elemento di linea è regolare quasi ovunque (eccetto nel punto r = 0). Ovunque altrove non sorgono problemi. Il suo gruppo isometrico è O₂. Le orbite del gruppo sono circoli r = costante. Potremmo immaginare che questa superficie possa essere immersa in R³, dove apparirebbe allora assialsimmetrica rispetto a un asse z.
Esistono geodetiche ( = costante ). Potremmo pensare che siano "linee meridiane" della superficie e che l'equazione z ( ) di un tale meridiano possa essere costruita come abbiamo fatto all'inizio dell'articolo. Lungo le geodetiche ( = costante ): (135)
Se questa superficie può essere immersa in R³, lungo queste geodetiche: (136)
il che dà: (137)
Conclusione: questa superficie non può essere immersa in R³.
Questa metrica (135) evoca un'azione repulsiva.
Non tutte le superfici, così come definite dalla loro metrica, possono esserlo. Comunque, queste superfici "esistono", anche se non possiamo afferrarle tra le mani. Consideriamo l'iper-superficie 3D seguente, definita da: (138)
con Rs > 0 e r > 0
è definita su R modulo 2
Non possiamo immergere un'iper-superficie di questo tipo. Ma essa esiste e possiede delle "geodetiche piane" ( 
= /2).
Possiamo calcolare il sistema geodetico di queste iper-superfici 2D e 3D. Possiamo rappresentarle in un piano (r,). Sono reali. (139)
Il loro tracciato è identico a quello delle due superfici precedenti, così come definite dal loro elemento di linea (134). Questi due oggetti geometrici sono semplicemente connessi.
Fig. 25: Geodetiche corrispondenti agli elementi di linea (134) e (138)
(Osservare che è simile a un'azione di repulsione).
C'è qualcosa di inquietante. Dato un elemento di linea, possiamo calcolare il sistema geodetico. Ad esempio, quello della rappresentazione classica della geometria di Schwarzschild corrisponde a: (140)
Possiamo calcolare le curve r () corrispondenti a questa equazione differenziale. Sono reali, anche per valori r < Rs!
Fig. 26: Linea geodetica completa corrispondente all'elemento di linea di Schwarzschild.
Comprendiamo perché i fisici siano stati turbati dopo aver osservato questo risultato strano. Ma esiste un fatto matematico: un elemento di linea può produrre un sistema geodetico reale, alcune parti corrispondenti a un elemento di lunghezza immaginario ds.
Che ne è della fisica? Identifichiamo ds con un incremento di tempo proprio. In precedenza abbiamo deciso di considerare che ds immaginario non corrisponda a un percorso fisico, il che ci ha obbligati a riesaminare la "topologia locale" dell'iper-superficie, cambiando la "topologia sferoidale locale" in una "topologia ipertoroidale locale".
In lavori precedenti le persone hanno mantenuto l'ipotesi di "topologia sferoidale locale", rendendo problematica l'interpretazione fisica dell'interno della sfera di Schwarzschild. Nella referenza [1], nella sezione 6.8, leggiamo:
(All'interno della sfera di Schwarzschild) sarebbe quindi naturale reinterpretare r come segnale temporale e t come segnale radiale (...) ... il che implicherebbe che ds² < 0 lungo questa linea universale.
- Estensione analitica di Kruskal.
Nel sistema classico di coordinate [x° , r , , ], la velocità radiale della luce è: (141)
in modo che tenda a zero quando r tende a Rs. L'argomento di Kruskal è il seguente (referenza [1], sezione 6.8).
Questa è una caratteristica indesiderata delle coordinate di Schwarzschild che possiamo eliminare nel seguente modo; cerchiamo una trasformazione per r e t verso nuove variabili u e v nelle quali l'elemento di linea assume la forma: (6.187)
...arriviamo a una trasformazione appropriata per l'interno del raggio di Schwarzschild: (6.204)
Mentre, all'esterno di questa sfera: (6.201)
La condizione fondamentale è che f sia regolare sulla sfera di Schwarzschild r = Rs. Sempre da [1]:
Così u serve come segnale radiale globale, e v serve come segnale temporale globale.
Inoltre, da (6.187), le geodetiche nulle (ds = 0) danno una "velocità della luce costante": (142)
Da (6.201) vediamo che quando r tende all'infinito, f tende a zero, quindi Adler, Schiffer e Bazin dicono [1]:
Non corrispondono tuttavia alle coordinate sferiche dello spazio piatto a distanza asintotica, come fanno le coordinate di Schwarzschild.
La metrica di Kruskal è anch'essa una soluzione non singolare delle equazioni di Einstein in queste regioni ed è equivalente alla soluzione di Schwarzschild, ma non presenta alcuna singolarità al confine (la sfera di Schwarzschild). È un'estensione analitica della varietà.
Kruskal si concentra sul problema a questo confine, che diventa non singolare, la singolarità essendo concentrata nel "centro geometrico" dove f tende all'infinito. Ancora usando la referenza [1], riproduciamo il passaggio dedicato ai percorsi radiali dei fotoni verso l'interno:
In termini di u, v il percorso è semplice; in termini di r e t, tuttavia, vediamo che inizia a un certo r > Rs e a un certo x° finito, si muove verso l'interno verso r = Rs mentre x° tende all'infinito, e attraversa la linea x° = infinito verso l'interno della sfera di Schwarzschild. Dopo ciò r continua a diminuire lungo il percorso, ma x° diminuisce. ... Questo trattamento chiarisce anche che x° non è un segnale ragionevole del tempo all'interno della sfera di Schwarzschild.
Vediamo che "nulla è perfetto". Con la sua scelta particolare di coordinate, Kruskal riesce a gestire il passaggio attraverso la sfera di Schwarzschild, confinando la caratteristica singolare della soluzione geometrica in una "singolarità centrale". Ma la metrica non è più lorentziana all'infinito.
Questo mostra come la scelta delle coordinate modifichi l'interpretazione della soluzione. La nostra introduce un cambiamento nella "topologia locale" (ponte ipertoroidale), ma elimina ogni singolarità.
- Torna all'immersione.
Il teorema di Wiener-Graustein afferma che ogni superficie n-dimensionale, con n > 2, può essere immersa in uno spazio la cui dimensione minima è (143)
Per le iper-superfici 4D, ciò corrisponde a uno spazio a 10 dimensioni. Sappiamo che le geodetiche della geometria di Schwarzschild giacciono in piani. = p/2 corrisponde a uno di essi. Possiamo quindi concentrarci su un sottoinsieme delle geodetiche ( = p/2). Queste geodetiche dipendono da due parametri l e h. Sappiamo che le geodetiche (l = 1) corrispondono a particelle la cui velocità è nulla all'infinito. Inoltre, scegliamo il sottoinsieme delle geodetiche ( = costante). Allora: (144)
Introduciamo una coordinata aggiuntiva z e scriviamo: (145)
ds² = dr² + dz²
(146)
Un'equazione differenziale la cui soluzione è: (147)
Possiamo rappresentare queste geodetiche in uno spazio 3D [z, r, ]. Sono linee meridiane di una superficie assialsimmetrica.
Fig. 27: Il meridiano della superficie nella quale viene effettuata un'immersione isometrica delle geodetiche di Schwarzschild ( = costante).
Nello spazio 3D, questa superficie assomiglia alla figura 28 (metà sezione).
Fig. 28: La superficie di immersione.
Se tracciamo le geodetiche "radiali" su di essa, otteniamo la figura 29.
Fig. 29: Rappresentazione delle geodetiche "radiali". Basso: la loro proiezione su un piano [r, ].
È un'immersione molto parziale, poiché è limitata all'insieme delle geodetiche "radiali". La figura 29 evoca un piego e suggerisce un'enantiomorfia. Infatti, consideriamo un insieme di tre punti che seguono geodetiche radiali. Otteniamo
Fig. 30-a: Tre punti-massa che cadono verso il collo lungo percorsi "radiali".
e:
Fig. 30-b: Lo stesso, dopo aver attraversato il collo.
Il triangolo è stato invertito.
Nella proiezione piana [r, ] l'orientamento del triangolo è invertito. Immaginate ora quattro particelle-test che seguono traiettorie radiali, cadendo verso la sfera di Schwarzschild, formando un tetraedro. Vedi figura 31.
Fig. 31: Quattro particelle che cadono sulla sfera di Schwarzshild lungo geodetiche "radiali" in uno spazio euclideo 3D.
Fig. 32: Dopo il "rimbalzo" sulla sfera di Schwarzschild, le particelle si muovono nello spazio gemello. Il tetraedro è invertito (enantiomorfia).
Torniamo alla rappresentazione precedente. Il vettore normale è anch'esso invertito:
Fig. 33: Una geodetica particolare = costante nella sua rappresentazione nell'insieme delle geodetiche (l = 1), nello spazio (r, , z).