Cosmologia
Buco nero discutibile.
Jean-Pierre Petit
Osservatorio di Marsiglia, Francia
Pierre Midy
CRI Orsay, Francia
Per la corrispondenza: 
________________________________________________________________
Riassunto
Partendo dal cosiddetto modello del buco nero, considerato come interpretazione fisica della geometria di Schwarzschild, riconsideriamo il problema del destino di una stella di neutroni quando supera il suo limite di stabilità. Presentiamo dapprima un nuovo strumento geometrico: la geometria ipertorica, attraverso esempi in 2d e 3d (sezione 2). Mostriamo che le patologie associate alle metriche, derivanti dal loro elemento di linea espresso in un dato sistema di coordinate, possono essere sanate mediante una scelta più adeguata formulata in termini di "topologia locale". Per esempio mostriamo che nei due esempi dati, la superficie 2d e l'ipersuperficie 3d, i cui gruppi di isometria sono O2 e O3, non sono semplicemente connesse.
Estendiamo il metodo alla geometria di Schwarzschild. Mostriamo che le caratteristiche singolari possono essere completamente eliminate, considerando un'ipersuperficie dello spazio-tempo non semplicemente connessa. Diamo alla geometria di Schwarzschild un diverso significato fisico: un ponte che collega due universi, il nostro e un universo gemello.
Mostriamo che il "congelamento del tempo", chiave di volta del modello del buco nero, è una semplice conseguenza di una scelta arbitraria e peculiare del marcatore temporale. Usandone un altro, ispirato al lavoro di Eddington (1924), ricaviamo uno scenario completamente diverso, che implica un trascinamento radiale del sistema di riferimento (simile al trascinamento azimutale del sistema di riferimento della metrica di Kerr). Mostriamo che la soluzione di Schwarzschild può essere interpretata come un "ponte spaziale", che collega due universi, due spazi-tempi, funzionante come un ponte a senso unico. Mostriamo che il tempo di transito di una particella di prova è finito e breve, il che rende immediatamente discutibile il modello classico del buco nero.
Estendendo il gruppo di isometria della metrica di Schwarzschild mostriamo che i due universi sono enantiomorfi (P-simmetrici) e possiedono marcatori temporali opposti
(t* = - t). Usando uno strumento gruppale: l'azione coaggiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti, diamo il significato fisico di questa "inversione temporale", attraverso la superficie sferica della gola, la sfera di Schwarzschild: quando una particella di massa positiva attraversa il ponte spaziale, il suo contributo al campo gravitazionale si inverte: m* = -m (come mostrato da J.M. Souriau nel 1974, l'inversione del marcatore temporale equivale all'inversione di massa ed energia).
Poiché la questione del destino di una stella di neutroni destabilizzata diventa un problema ancora aperto, presentiamo un progetto di modello alternativo: il trasferimento iperspaziale di una parte della sua materia, attraverso un ponte spaziale, materia che fluisce verso l'universo gemello a velocità relativistica.
Per inciso ricordiamo alcuni difetti ben noti del modello di Kruskal, in particolare il fatto che non è asintoticamente lorentziano all'infinito.
Suggeriamo di considerare la geometria di Schwarzschild come un'ipersuperficie immersa in uno spazio a dieci dimensioni. Collegando il presente lavoro a quelli precedenti, basati sulla teoria dei gruppi, costruiamo un modello simmetrico CPT. La dualità materia-antimateria vale in entrambe le pieghe. Quando la materia viene trasferita verso l'Universo gemello, subisce una simmetria CPT e la sua massa (il suo contributo al campo gravitazionale) si inverte. Ma è ancora materia. Analogamente, l'antimateria che fluisce nel ponte spaziale rimane antimateria, con massa opposta, poiché l'inversione del marcatore temporale, come mostrato da Souriau, implica l'inversione della massa.
________________________________________________________________
- Il modello del buco nero.
Le stelle di neutroni non possono superare una massa critica, vicina a 2,5 masse solari. Per masse superiori, il loro materiale non può più sopportare l'enorme pressione interna dovuta alla forza gravitazionale. Si verifica allora il collasso gravitazionale. Per lungo tempo, i teorici hanno cercato di descrivere il destino di un tale oggetto. Guardando alla metrica di Schwarzschild, qui di seguito espressa in termini di coordinate
, dove Rs è il cosiddetto raggio di Schwarzschild
(1)
si immaginò che questa soluzione dell'equazione di Einstein:
(2)
S = 0
con secondo membro nullo potesse risolvere il problema. In effetti, se t viene scelto come "il tempo cosmico di un osservatore esterno", il tempo di caduta libera di una particella di prova, che segue una "geodetica radiale", da qualsiasi punto distante dalla sfera di Schwarzschild r = Rs, risulta essere infinito, mentre questo tempo di caduta libera Ds, espresso in tempo proprio, rimane finito. Allora la "descrizione fisica" è la seguente:
-
L'oggetto (una stella di neutroni che supera il suo limite di stabilità) subisce un collasso gravitazionale. La sua massa cade rapidamente verso "il centro geometrico del sistema", descritto come una "singolarità centrale". Questo fenomeno si estende su una durata finita Ds, in termini di tempo proprio s.
-
Ma, per un "osservatore esterno", situato a una certa distanza dall'oggetto, questo processo appare "congelato nel tempo". Inoltre la sfera di Schwarzschild è una superficie a redshift infinito (a causa della nullità del termine gtt della metrica in r = Rs).
Questo è il modello di un buco nero a simmetria sferica.
r è identificato con una "distanza radiale", il che significa che si può pensare a "ciò che c'è dentro la sfera di Schwarzschild". In parole povere, significa che si assume che la "topologia locale" sia "sferica": all'interno della sfera di Schwarzschild, si suppone che sia situata una "sfera più piccola", e così via, fino al "centro geometrico" dell'oggetto.
In seguito il modello fu esteso a una geometria a simmetria assiale (metrica di Kerr). Ma questa estensione non apporta alcun cambiamento concettuale fondamentale. Per questo nel seguito ci concentreremo su un sistema a simmetria sferica (pensiamo che questo studio potrebbe essere successivamente esteso alla metrica di Kerr).
È un po' strano che un oggetto così molto denso possa essere descritto mediante una soluzione delle equazioni (2), che a priori si riferisce a una porzione vuota dell'Universo dove non c'è materia-energia.
Se si mantiene la descrizione
(una scelta peculiare di coordinate), sorgono molte difficoltà. Per esempio, quando r tende a Rs il termine grr tende all'infinito.
La segnatura della metrica, espressa con questa peculiare scelta di coordinate, è:
( + - - - ) per r > Rs
( - + - - ) per r < Rs
Quando una particella di prova penetra all'interno della sfera di Schwarzschild la sua massa diventa immaginaria e la sua velocità maggiore della velocità della luce: diventa un tachione.
Considerando il cambiamento di segnatura, alcuni dissero:
- Nessun problema: all'interno della sfera di Schwarzschild r diventa semplicemente il tempo e t la distanza radiale.
Un cosmologo francese, Jean Heidmann, soleva dire: "quando pensiamo ai buchi neri, dobbiamo rinunciare a ogni buon senso".
Per inciso, ci sono pochissimi candidati buco nero, il che è il punto più sconcertante. In effetti, le supernovæ, le nane bianche e le stelle di neutroni furono previste prima di essere osservate. Per esempio, Fritz Zwicky presentò il modello della supernova, in una famosa conferenza tenuta al Caltech nel 1931, prima che ne fosse osservata alcuna. Ma anno dopo anno il modello fu confermato e ora ne conosciamo centinaia. Stessa cosa per le stelle di neutroni rotanti, identificate con le pulsar. Perché così pochi buchi neri osservati?
In ogni caso, gli astrofisici credono che i buchi neri esistano, anche se ci sono così pochi dati osservativi su di essi. "Usano" modelli di "buchi neri giganti", supposti situati al centro di galassie o ammassi di galassie, per "spiegare" alcune delle loro sconcertanti caratteristiche dinamiche.
Nel seguito, vorremmo suggerire un destino diverso per le stelle di neutroni che superano il loro limite di stabilità. Cominciamo con l'introdurre nuovi strumenti geometrici.
- Geometria ipertorica.
Si consideri la seguente metrica riemanniana g, in due dimensioni, il cui elemento di linea, scritto con un insieme di due coordinate [ r , j ], è:
(3)
dove:
è definita su R, modulo 2 
.
Rs è una costante.
Questa metrica diventa asintoticamente euclidea quando r tende all'infinito:
(4)
In questo peculiare sistema di coordinate
la segnatura è:
( + , + ) per r > Rs
( - , + ) per r < Rs
Il determinante:
(5)
diventa infinito per r = Rs. Mostriamo che ciò è dovuto a questa peculiare scelta di coordinate. Introduciamo il seguente cambiamento di coordinata:
(6)
L'elemento di linea diventa
(7)
il cui determinante associato è:
(8)
Non si annulla più per tutti i valori di 
(il che tra l'altro mostra che, in una metrica, la nullità del determinante dell'elemento di linea dipende dalla scelta del sistema di coordinate, come evidenziato da Eddington nel 1924 (rif.[10]) per la metrica di Schwarzschild). Quando tende a zero (il che corrisponde a
questo determinante tende a:
varia da - infinito a + infinito, il che equivale a r ³ Rs
La metrica g, qualunque sia il sistema di coordinate scelto, descrive una superficie, un oggetto bidimensionale. Quest'ultimo possiede il proprio sistema geodetico, fondamentalmente invariante rispetto alle coordinate. Studiamo questo sistema in un sistema di coordinate
mediante il sistema di equazioni di Lagrange. Introduciamo la seguente funzione F:
(9)
Le corrispondenti equazioni di Lagrange sono:
(10)
(11)
L'equazione (11) dà:
(12)
h essendo positivo, negativo o nullo. Inoltre, se in (3) dividiamo i due membri per , otteniamo, classicamente:
(13)
da cui possiamo ricavare l'equazione differenziale che descrive le geodetiche piane, nel sistema di coordinate
:
(14)
La condizione IhI £ r, secondo la (12), significa che il valore assoluto del coseno dell'angolo tra la tangente alla geodetica e il vettore radiale è £ 1.
Ora immergiamo la superficie in R3, aggiungendo una coordinata di immersione z. Scegliamo coordinate cilindriche
La superficie è a simmetria assiale rispetto all'asse z.
Le geodetiche ( = costante ) sono le linee meridiane di questa superficie, dove:
(15)
il che dà immediatamente l'equazione della curva meridiana di questa superficie, come immersa in R3. È la parabola:
(16)
La figura 1 mostra una vista 3d di questa superficie, come immersa in R3, più una geodetica e la sua proiezione su un piano con coordinate polari
.
Questa superficie non è semplicemente connessa. Tra le orbite del gruppo di isometria O2 troviamo un cerchio di perimetro minimo: il cerchio della gola (p = 2 Rs).
Fig. 1: La superficie, come immersa in R3
e la sua rappresentazione in un
sistema di coordinate.
Nella figura 2 sono mostrate diverse geodetiche, in questo
sistema di rappresentazione.
Fig. 2: rappresentazione di alcune geodetiche.
Fig 3: Una peculiare geodetica, che attraversa il cerchio della gola.
Si noti che questa rappresentazione delle geodetiche in un piano
non è isometrica. Se misuriamo la lunghezza su questo piano, essa non corrisponde alla lunghezza misurata sulla superficie.
Se imponiamo che la lunghezza dS sia reale, vediamo che ciò determina quella che potremmo chiamare la topologia locale. Chiamiamo tale struttura geometrica un ponte toroidale. Possiamo anche dire che questa superficie possiede una topologia toroidale locale. Possiede una singola piega, che può essere considerata come un insieme di due semifalde limitate, le due incollate lungo i loro bordi circolari lungo il cerchio della gola, il cui perimetro è 2 Rs. Questi cerchi non sono linee geodetiche (tranne questa peculiarissima geodetica che è il cerchio della gola, l'unica chiusa). Su ciascuna semifalda, quando la distanza rispetto al "ponte toroidale" tende all'infinito la metrica tende a quella euclidea (2). Nella figura 2, corrispondente a una rappresentazione [ r , ], le porzioni superiori delle geodetiche che attraversano il cerchio della gola sono state raffigurate come linee continue, mentre le porzioni corrispondenti all'altra semifalda sono state raffigurate come linee tratteggiate. Si noti che una semifalda corrisponde a ( ) , donde l'altra corrisponde a (
) . Il cerchio della gola corrisponde a
= 0 .