- Geodetiche in una rappresentazione [r,j].
Introducendo la (6) nella (14), con dr = thr dr
otteniamo:
(17)
che fornisce la rappresentazione [r, j] delle geodetiche. Quando r tende a zero, dj/dr tende a un valore finito, cosicché la tangente dell'angolo di passo:
(18)
tende a zero nell'origine. L'immagine del cerchio della gola di Schwarzschild, in tale rappresentazione, è un punto conico.
Fig.4: La geodetica mostrata nella figura 3, in un sistema di coordinate (r, j).
L'attraversamento del cerchio della gola corrisponde al punto O
Questa è una rappresentazione isometrica delle geodetiche.
Notiamo che possiamo anche raffigurare la superficie in una rappresentazione [z, r, j], ma questa non è più isometrica. Otteniamo il meridiano associato:
(19)
Quando r tende a zero, z(r) è lineare. Quando tende all'infinito, la funzione tende a una parabola.
Fig. 5: Meridiano della superficie, in una rappresentazione [r, j]
non isometrica della superficie.
L'immagine del cerchio della gola di Schwarzschild, in tale rappresentazione, è un punto conico.
- Estensione a un'ipersuperficie tridimensionale a simmetria sferica.
Ciò può essere esteso a un'ipersuperficie tridimensionale, come descritto dall'elemento di linea:
(20)
Questa metrica si riferisce a un'ipersuperficie tridimensionale, qui espressa in un sistema di coordinate [r, q, j]. La variabile r non è una "distanza radiale", corrispondente a "coordinate sferiche". Ritroviamo simili patologie in questo nuovo elemento di linea, che possono essere eliminate introducendo lo stesso cambiamento di coordinate (6).
[r, q, j] → [r, q, j]
Allora questo elemento di linea diventa:
(21)
La sua segnatura diventa (+, +, +) e il suo determinante:
(22)
non si annulla più.
Le geodetiche di questa ipersuperficie sono situate in piani. q = p/2 è uno di essi. Nella loro rappresentazione [r, j] si identificano con quelle della figura 2. Il gruppo di isometria è O3 e le orbite corrispondenti sono sfere. Tra queste, una possiede un'area minima (la sfera della gola di tale ponte toroidale tridimensionale). I cerchi massimi delle sfere-orbite non sono curve geodetiche, eccetto quelle peculiari situate sulla sfera della gola il cui perimetro è 2 p Rs. Le geodetiche di questa peculiare sfera sono le uniche chiuse. Possiamo chiamare questa peculiare geometria una geometria ipertoroidale. Questa superficie tridimensionale non è semplicemente connessa. Possiede una singola piega tridimensionale, che può essere considerata un insieme di due semipieghe tridimensionali limitate, incollate insieme lungo il loro bordo sferico (la sfera della gola). A grande distanza da questo "ponte ipertoroidale" la metrica tende a quella euclidea, qui di seguito scritta in coordinate sferiche:
(23)
ds2 = dr2 + r2 (dq2 + sin2q dj2)
- Geometria di Schwarzschild.
Classicamente si considera che il suo gruppo di isometria sia SO3 X R dove R si riferisce a traslazioni unidimensionali. Poi si usa dire che questa metrica è indipendente dal tempo e a simmetria sferica, considerando che R corrisponde a traslazioni temporali.
Espresso in un sistema di coordinate [x�, r, q, j], dove x� è il marcatore temporale, l'elemento di linea è
(24)
Classicamente, si scrive x� = ct, che si suppone definisca il tempo cosmico t di "un osservatore esterno". Quando r >> Rs la (21) tende alla metrica di Minkowski. Classicamente r è assimilato a una coordinata radiale. La (21) mostra un'irregolarità del termine grr e un cambiamento della segnatura quando r = Rs.
Ancora una volta possiamo regolarizzare questa metrica, usando il cambiamento di coordinate (6), passando a un sistema [t, r, q, j].
Allora l'elemento di linea diventa:
(25)
Le orbite del gruppo di isometria O3 sono sfere. Tra questo insieme, una, la sfera della gola (sfera di Schwarzschild) possiede un'area minima. L'ipersuperficie non è semplicemente connessa. Forma una singola piega dello spazio-tempo, che può essere considerata un insieme di due semipieghe quadridimensionali dello spazio-tempo (pieghe gemelle), la prima corrispondente a r > 0 e la seconda a r < 0, donde la sfera della gola corrisponde a r = 0. Possiamo calcolare le geodetiche, situate nel piano q = p/2. Seguendo: "coordinate sferiche":
Fig.6: Coordinate sferiche.
l'elemento è dr2 = r2 (dq2 + sin2q dj2)
I cerchi j = costante sono geodetiche della sfera ma, ovviamente, non rappresentano tutte le geodetiche della superficie. Solo quelle che passano per due punti antipodali (poli).
I cerchi q = costante non sono geodetiche, eccetto quello che corrisponde a q = p/2 (equatore).
In un sistema di coordinate [r � Rs, j] queste geodetiche (di lunghezza non nulla) corrispondono a:
(26)
La scelta dell'insieme di costanti [l, h] determina la geodetica. Tra queste troviamo geodetiche simili a iperboli, che non intersecano la sfera della gola r = Rs. Si veda la figura 7.
Figura 7: Geometria di Schwarzschild. Rappresentazione [r, j] di una geodetica piana simile a un'iperbole
che non taglia la sfera della gola r = Rs
Troviamo anche geodetiche quasi ellittiche. Si veda la figura 8
Fig. 8: Geometria di Schwarzschild. Rappresentazione [r, j]
di geodetiche quasi ellittiche.
Ora concentriamoci sulle geodetiche che intersecano la sfera della gola r = Rs. In una rappresentazione [r, j], chiamiamo a l'angolo tra la tangente alla geodetica e il vettore radiale.
(27)
La prima equazione di Lagrange dà:
(28)
Per valori r � Rs il parametro l è strettamente positivo.
Un'altra equazione di Lagrange è:
(29)
e dà un'evoluzione monotona dell'angolo j rispetto al tempo proprio s. In questo piano (q = p/2) il vortice dipende dal segno di h.
Secondo questa nuova interpretazione della geometria di Schwarzschild (considerata come un'ipersuperficie non semplicemente connessa) possiamo raffigurare la geodetica in una rappresentazione [r, j] come mostrato nella figura 9.
Figura 9a: Rappresentazione [r, j] di una geodetica
che interseca la sfera della gola (sfera di Schwarzschild) corrispondente a h � Rs
Una porzione della geodetica è stata raffigurata come linea tratteggiata, poiché si suppone appartenga alla seconda semipiega tridimensionale, collegata alla prima lungo la sfera della gola, quella di Schwarzschild. Suggerisce una rottura. Ma quest'ultima è dovuta a questo peculiare sistema di rappresentazione [r, j], che è più familiare alla nostra (povera) intuizione geometrica umana. In uno spazio di rappresentazione tridimensionale otteniamo la figura 9b. Le particelle sono come "rimbalzanti" sulla sfera di Schwarzschild.
Fig.9b: Nello spazio di rappresentazione euclideo tridimensionale le particelle
sono come rimbalzanti sulla sfera di Schwarzschild.
Da questo punto di vista, "non c'è nulla all'interno della sfera di Schwarzschild", poiché, in questo "interno" siamo semplicemente "fuori dall'ipersuperficie". Ricordiamo che la sfera della gola, la sfera di Schwarzschild corrisponde al valore r = 0. La prima semipiega corrisponde a (r > 0) e la seconda a (r < 0).
In una rappresentazione [r, j], l'aspetto della geodetica diventa alquanto diverso. Calcoliamo la tangente dell'angolo b, tra la geodetica e il vettore raggio (si veda la figura 6).
(30)
Quando r tende a � 0 thr � r, donde:
(31)
Nella rappresentazione [r, j] le geodetiche che vanno da una semipiega all'altra sono tangenti al vettore radiale. Non c'è più discontinuità angolare nell'origine, quest'ultima essendo l'immagine del cerchio della gola (r = 0). Per ottenere una descrizione completa di queste geodetiche dobbiamo tornare all'elemento di linea, come espresso nel sistema di coordinate [t = x�/c, r, q, j] (24), usando il sistema di equazioni di Lagrange, con:
(32)
Tra queste equazioni, troviamo:
(33)
Per un dato valore di h l'evoluzione di j è monotona, rispetto al tempo proprio s.
Fig. 10: Rappresentazione [r, j] di una geodetica che passa
da una semipiega (r > 0) all'altra (r < 0).
Come prima, la porzione della geodetica che appartiene alla seconda semipiega tridimensionale è stata raffigurata come linea tratteggiata.
Non possiamo dare un'immersione dell'ipersuperficie quadridimensionale, come abbiamo fatto all'inizio dell'articolo per una superficie bidimensionale. Del resto, trattiamo geodetiche quadridimensionali, non tridimensionali. Gli spazi [r, q, j] e [r, q, j] non sono altro che spazi di rappresentazione, che si suppone rendano le cose un po' più chiare. Le geodetiche reali sono inscritte in uno spazio quadridimensionale. Comunque, la rappresentazione [r, q, j] suggerisce una qualche "ponte ipertoroidale" tridimensionale, donde la rappresentazione [r, q, j] suggerisce una qualche "ipercono" tridimensionale. In questa seconda rappresentazione (tridimensionale) di tale superficie bidimensionale sono geodetiche che vanno da una semipiega all'altra, passando per il punto (r = 0). Ciò è simile a un cono bidimensionale. Si veda la figura 11
Fig. 11: Geodetica di un cono. A destra:
una superficie che possiede un punto conico.