- La scelta di un marcatore temporale.
Nelle coordinate [ t , r , q , j ], corrispondenti all'elemento di linea (25), il determinante della metrica è:
(34)
che si annulla quando r diventa zero. Tuttavia, nel 1924, Eddington [10] mostrò che la nullità della metrica dipendeva dalle coordinate. Torniamo prima alla forma iniziale
(35)
Si insista sul fatto che la scelta del sistema di coordinate è puramente arbitraria, poiché la metrica, soluzione dell'equazione in forma tensoriale
(36)
S
= 0
è fondamentalmente invariante rispetto alle coordinate. Decidiamo che le particelle seguono geodetiche. Le coordinate scelte arbitrariamente conferiscono il significato fisico a questa soluzione geometrica. Possiamo scegliere x⁰ = ct, dove c è una costante. Ma possiamo scegliere un altro sistema di riferimento. Dipende da noi. L'unica condizione, per un marcatore cronologico scelto x⁰, o t , x , è che la metrica sia asintoticamente euclidea:
(37)
oppure:
(38)
come espresso in un sistema di coordinate cartesiane. Si ricordi che una metrica riemanniana è euclidea se si può trovare un sistema di coordinate in cui la forma quadratica dell'elemento di linea ha coefficienti costanti. L'insieme dei segni è la segnatura.
Se quest'ultima è ( + - - - ) si tratta di una metrica di Minkowski.
(39)
essendo identificata a una distanza elementare, sembra una condizione ragionevole imporre che la metrica sia asintoticamente euclidea "a grande distanza", qualunque sia la definizione scelta per tale distanza ( r o r , come sopra).
La definizione del "tempo cosmico" o "marcatore spaziale" rimane una scelta completamente libera. Al contrario, non possiamo modificare il tempo proprio
s, o, più precisamente, l'intervallo di tempo Ds tra due punti dati della varietà, poiché è fondamentalmente indipendente dalle coordinate. Inoltre, si assume che le particelle possano viaggiare in entrambe le direzioni lungo una data geodetica.
Fig. 12 : Il viaggio di una particella su una data geodetica.
Il viaggio di una particella di prova lungo una geodetica è un fenomeno. Un'altra geodetica della varietà è supposta riferirsi a un "osservatore esterno, in quiete". Ma lo stato di quiete dipende dalla scelta delle coordinate (x⁰, x1 , x2 , x3) , che è completamente arbitraria.
Questo "osservatore esterno" è supposto trovarsi in una porzione della varietà dove la metrica è euclidea, o quasi euclidea, cioè ha la forma (37). Allora la condizione di quiete significa che
(40)
dx1 = 0
dx2 = 0
dx3 = 0
Per un osservatore in tale stato di quiete, qualsiasi intervallo di tempo proprio si identifica con l'associato "intervallo di tempo cosmico" scelto arbitrariamente:
(41)
Ds
= Dx⁰
...La scelta del tempo cosmico essendo puramente arbitraria, l'evoluzione della particella di prova nel tempo dipende da questa scelta. Consideriamo due punti A e B, su una data geodetica, che si suppone riferita a un osservatore esterno. Questi punti sono eventi spaziotemporali. Nella figura 13 le linee tratteggiate si suppongono riferite a un tempo cosmico costante x⁰.
Fig. 13 : Un "osservatore esterno in quiete", che "considera" l'evoluzione
di una particella di prova su una geodetica. Tempo cosmico x⁰
Consideriamo ora un'altra scelta x per il tempo cosmico. Vedi figura 14.
Fig. 14 : Un "osservatore esterno in quiete", che "considera" l'evoluzione
di una particella di prova su una geodetica. Tempo cosmico x
Precisiamo che le linee tratteggiate non sono percorsi di fotoni. I fotoni viaggiano su geodetiche nulle peculiari, che sono invarianti rispetto alle coordinate.
Abbiamo ancora Ds(O) = Dx⁰
= Dx ma gli intervalli Ds'(TP) e Ds"(TP) possono essere abbastanza diversi, sebbene si riferiscano alla stessa geodetica, poiché le coppie (A',B') e (A",B") possono differire. Fondamentalmente, dipendono dalla coordinata temporale scelta, o "marcatore temporale".
- Il cambio di coordinata temporale di Eddington e la sua forma estesa.
Il seguente cambio di coordinate, introdotto da Eddington nel 1924, illustrazione di questo punto, è:
(42)
Allora l'elemento di linea diventa
(43)
Poiché il termine gxx diventa zero sulla sfera r = Rs , quest'ultima è una superficie di redshift infinito (come nell'elemento di linea della metrica di Schwarzschild classica). La matrice
diventa:
(44)
il cui determinante è:
(45)
- r 4
sin2 q
e non si annulla più, qualunque sia il valore di r. Per ragioni che saranno spiegate in seguito, estendiamo questo cambio di coordinate a:
(46)
Espresso con il sistema di coordinate ( x , r , q , j ), l'elemento di linea diventa:
(47)
il cui determinante ha la stessa forma (44). Si noti che il cambio di coordinate di Eddington corrisponde al valore d = - 1.
Studiamo le geodetiche, utilizzando le equazioni di Lagrange, basate sulla funzione:
(48)
con :
Inoltre, dall'espressione dell'elemento di linea, abbiamo, classicamente, per particelle materiali (ds ² 0) :
(49)
Un'equazione di Lagrange dà:
(50)
Consideriamo la geodetica piana q = p/2 , che dà:
(51)
Lungo una geodetica, rispetto al tempo proprio s, l'evoluzione di j è monotona. Un'altra equazione di Lagrange dà:
(52)
cioè:
(53)
Combinando con (49), sorprendentemente, d scompare:
(54)
Si noti che se dr = 0 (velocità nulla) quando r tende all'infinito, corrisponde a l = 1. Quando r tende all'infinito, dopo (53):
(55)
Se l
¹ 1 , quando r tende all'infinito, otteniamo:
(56)
con
otteniamo
(57)
In [ r , j ] ritroviamo, per geodetiche non nulle (ds
² 0), l'espressione differenziale della forma classica:
(58)
che fornisce gli schemi delle figure 7, 8 e 9. Ora possiamo definire un nuovo tempo cosmico, attraverso:
(59)
x = ct
...L'elemento di linea (43) è ancora asintoticamente euclideo. A "grande distanza" il tempo proprio Ds di un osservatore in quiete si identifica con l'intervallo Dt.
- Intervalli di tempo per percorsi radiali.
Possiamo calcolare l'intervallo di tempo Dt = Dx/c di una particella di massa non nulla, che segue una geodetica, attraverso l'equazione differenziale:
(60)
Per "geodetiche radiali" ( h = 0 ) :
(61)
Vicino alla sfera di Schwarzschild, otteniamo:
(62)
l =
1 corrisponde a una particella di prova la cui velocità tende a zero all'infinito.
Consideriamo quel caso peculiare:
(63)
Da (54)
n
= - 1 corrisponde a percorsi (dr < 0).
n
= +1 corrisponde a percorsi (dr > 0).
...Si noti che il peculiare cambio di coordinate di Eddington corrisponde (per
r ³ Rs) a d = + 1 . Quando calcoliamo il tempo di viaggio radiale Dt di una particella di prova, rispetto a questo nuovo tempo cosmico, troviamo che quest'ultimo dipende dalla direzione di questo movimento e dal segno di d, cioè dal prodotto dn. Quando è positivo, il tempo di viaggio di una particella di prova, lungo una geodetica radiale (r ³
Rs) è finito. Quando è negativo, questo tempo di viaggio diventa infinito.
...Come prima conseguenza, se applicato al modello di buco nero a simmetria sferica, il cambio di coordinate di Eddington dà un tempo di caduta libera Dt finito.
Quando r = Rs la velocità della particella diventa:
(64)
Una particella di prova, che cade verso la sfera di Schwarzschild, la raggiunge alla velocità c.
- Velocità della luce.
I fotoni viaggiano su geodetiche nulle, corrispondenti a:
(65)
Consideriamo la velocità:
(66)
Da (65) otteniamo:
(67)
Quando r
tende all'infinito, vj tende a ± c .
Quando dr
< 0 abbiamo n < 1 . Allora, quando r = Rs per percorsi (d
r< 0) :
(68)
Quando una particella di prova cade verso la sfera di Schwarzschild, lungo percorsi radiali, la raggiunge alla velocità della luce.
Per riassumere:
(69)
(70)
La velocità della luce è diversa, considerando percorsi (dr > 0) o (d r< 0).
- L'effetto di trascinamento del sistema di riferimento.
Consideriamo la metrica di Kerr:
(71)
dove r è una coordinata spaziale diversa da quella definita sopra. Riproduciamo semplicemente l'equazione 7.110 della referenza [1].
Calcoliamo la velocità del fotone (ds = 0) per movimenti tangenti a cerchi (q = p/2, r =
costante). Troviamo:
(72)
cioè due
valori distinti. Questo corrisponde a un trascinamento azimutale del sistema di riferimento ed è una proprietà della metrica di Kerr. Dalla referenza [1], 7.7, "La soluzione di Kerr e la rotazione" leggiamo:
Un effetto fisico molto interessante risulta dalla natura rotazionale della soluzione di Kerr; un corpo in moto geodetico subisce una forza proporzionale al parametro a che ricorda una forza di Coriolis. In termini approssimativi, possiamo pensare alla sorgente rotante come a qualcosa che "trascina" lo spazio con sé. In un senso machiano, la sorgente "compete" con le condizioni al contorno lorentziane all'infinito nell'istituzione di un sistema di riferimento inerziale locale.
Riformulato in termini di coordinate di Eddington, il buco nero, considerato come sorgente del campo, induce un trascinamento radiale del sistema di riferimento.
- Buco nero e fontana bianca.
Nella sezione 4 abbiamo suggerito una nuova interpretazione della geometria di Schwarzschild dove la sfera di Schwarzschild, vedi figura 9, si comporta come una sfera di gola, collegando due "pieghe di mezzo spaziotempo". Possiamo immaginare una struttura simile, combinando le due seguenti geometrie di Schwarzschild:
(73)
(74)
Queste due derivano da (43), il primo elemento di linea (73) corrispondente a d = -1 e il secondo (74) a d
= +1 . Il collegamento non presenta difficoltà poiché d non appare nel calcolo della rappresentazione [ r, j ] delle geodetiche. Vedi equazione (58). Otteniamo una coppia "buco nero-fontana bianca", senza "singolarità centrale". La materia può entrare nel buco nero, ma non uscire. Dall'altro lato, la materia può fluire fuori dalla fontana bianca, ma non entrare. Il tempo di transito è finito in una direzione e infinito lungo l'altra. Calcolato con il nuovo tempo cosmico x, il tempo di transito finito è simile a quello calcolato con il tempo proprio s. Per percorsi radiali:
(75)
Questo tempo è molto breve. Come mostrato in questo articolo, il modello di buco nero si basa su una scelta peculiare delle coordinate, e in particolare del tempo cosmico. Come sottolineato nella sezione 6, la scelta del marcatore temporale è puramente arbitraria. Quella classica dà un sistema quasi stazionario, dove la caduta della materia, riversata nel buco nero, è "congelata nel tempo", rispetto a un osservatore esterno. Ma il presente articolo mostra che un'altra scelta del marcatore temporale, derivata dall'idea di Eddington, "scongela" il processo. Da questo punto di vista, i buchi neri, o le coppie buco nero-fontana bianca, non possono esistere come oggetti permanenti, poiché possono inghiottire decine di masse solari per millisecondo. Quindi rimane ancora una questione aperta:
- Cosa
succede quando una stella di neutroni supera il suo limite di stabilità?
- Spazio di rappresentazione.
Prima
di tentare di presentare un progetto alternativo di modello, poche parole su ciò che potremmo chiamare "spazi di rappresentazione". All'inizio dell'articolo, abbiamo studiato una superficie 2D, come definita dal suo elemento di linea. È sembrato possibile immergere questa superficie in R3, il che ha dato una rappresentazione isometrica di questo oggetto geometrico. A questo proposito, abbiamo menzionato una rappresentazione [r,j].
Non è
possibile dare una rappresentazione evidente di un'ipersuperficie quadridimensionale poiché non possiamo disegnarla e mostrare figure. Ma l'ipersuperficie può essere figurata in molti spazi di rappresentazione, corrispondenti a varie scelte di coordinate, poiché l'oggetto è fondamentalmente invariante rispetto alle coordinate. Possiamo, ad esempio, introdurre il cambio (6). Allora l'elemento di linea diventa:
(76)
per r
0
e:
(77)
per r
< 0.
Le geodetiche "radiali" (Per esempio q = p/2 , dj
= 0 ) convergono verso il centro geometrico O del sistema (in questa rappresentazione peculiare). Questo punto è paragonabile a un "punto iperconico".
Una simmetria rispetto a un punto, in uno spazio 3D, è una simmetria P.
In questo [ t , r , q , j ] l'elemento di linea di Schwarzschild è P-simmetrico. È anche indipendente dal tempo (invariante per traslazione temporale, cioè corrisponde a uno stato stazionario) e T-simmetrico, invariante per:
t ¹
- t