- Gruppi di isometria.
Sia a una matrice di rotazione 3D. Scriviamo:
(78)
L'elemento del gruppo SO3 x R può essere rappresentato dalla matrice:
(79)
che è il prodotto di due matrici. La prima:
(80)
appartiene a SO3.
e la seconda:
(81)
appartiene al gruppo delle traslazioni temporali R. Introduciamo le simmetrie P e T. Otteniamo un gruppo a quattro componenti, il cui elemento è:
(82)
È il prodotto di due matrici:
(83)
e:
(84)
Chiamiamo questo secondo sottogruppo E1 (gruppo euclideo unidimensionale).
Nella rappresentazione [ t , r , q , j ] il gruppo di isometria è O3 x E1.
Ritorniamo all'espressione dell'elemento di linea nel sistema di coordinate [t , r ,q, j]:
(85)
...Classicamente, si considera che il gruppo di isometria associato sia SO3 x R, che non è il più grande. È O3 x E1, poiché l'elemento di linea è anche invariante sotto inversioni spaziali e temporali.
Ora, consideriamo l'elemento di linea espresso nella forma "di Eddington estesa"
(86)
che scriviamo:
(87)
Introducendo le coordinate spaziali cartesiane [ x1, x2, x3]:
(88)
(89)
(90)
Allora l'elemento di linea può essere espresso in termini delle coordinate [x ,x1,x2,x3].
(91)
Ora cerchiamo il gruppo isometrico della metrica, così come espressa in questo peculiare sistema di coordinate.
Abbiamo innanzitutto la simmetria P. L'elemento di linea è invariante sotto:
(92)
x1 → - x1
x2 → - x2
x3 → - x3
È anche invariante attraverso la trasformazione:
(93)
x → - x
d → - d
E attraverso le traslazioni temporali: x = x + e. Corrisponde al seguente gruppo a quattro componenti:
Il suo elemento è il prodotto di due matrici. Il primo insieme
(94)
corrisponde a O3 e il secondo forma un secondo sottogruppo il cui elemento è:
(95)
Chiamiamo questo secondo sottogruppo " TF ".
Allora il gruppo di isometria di (86) è:
O3 x TF
Consideriamo ora la metrica di Schwarzschild espressa nel sistema di coordinate [t = x/c , r , q , j ]. Possiamo raggruppare le due espressioni (76) e (77) in:
(96)
Ricordiamo che d = -1 si occupa del semispaziotempo r > 0 mentre d = +1 si occupa del secondo semispaziotempo r < 0, se consideriamo che il "buco nero" è situato nella nostra piega e la "sorgente bianca" nella "piega gemella".
Se la situazione è invertita, cioè se il "buco nero" è situato nella piega gemella e la "sorgente bianca" nella nostra, otteniamo:
d = +1 si occupa del semispaziotempo r > 0
d = -1 si occupa del semispaziotempo r < 0
Consideriamo il primo caso (il "buco nero" è nel nostro universo e la "sorgente bianca" è nella piega gemella). Qui, la metrica è:
(97)
Cambiando:
r → -r
t → -t
d → -d
otteniamo la seconda metrica:
(98)
Notare che l'annullarsi del determinante quando r = 0 corrisponderebbe all'inversione locale dello spazio (enantiomorfia) e della coordinata temporale nel punto ( r = 0 ). In effetti, è necessario un determinante non nullo per definire le coordinate gaussiane. Vedere la riferimento [1] 2.4
Se il determinante è diverso da zero, è possibile definire una serie di ipersuperfici ( x0 o x, o t = costante) (corrispondenti a un valore costante del marcatore cronologico scelto), ortogonali alle linee geodetiche delle coordinate x0 o x o t ("linee di mondo" per i "punti stazionari").
Fig.15 : Dopo la fig. 2.1 del riferimento [1]
Potremmo esprimere (97) e (98) in coordinate cartesiane, come prima, e ritrovare (92) e (93). Il gruppo di isometria di (96) diventa:
(99)
Le due pieghe del semispaziotempo sono PT-simmetriche.
Ricordiamo che Andrei Sakharov fu il primo, nel 1967 (riferimenti [26] a [30]), a suggerire che un Universo potesse essere composto da due Universi gemelli, il nostro e uno gemello, con "tempi opposti". Successivamente suggerì che la piega gemella potesse essere enantiomorfa.
- Il significato fisico dell'inversione del tempo cosmico t.
Questa inversione temporale è sconcertante. Significa che il marcatore temporale t viene invertito quando si segue una geodetica, dalla nostra piega a quella gemella. Significa forse che l'orologio di un "passeggero", che attraversa questo ponte ipertorico, verrebbe invertito?
Sopra, abbiamo detto che potrebbe esistere una coppia "buco nero - sorgente bianca", dove il "buco nero" sarebbe situato nella piega gemella e la "sorgente bianca" nell'altra. Ciò significherebbe che questo "passeggero di prova" potrebbe tuffarsi nel primo ponte ipertorico e emergere dal secondo. Potrebbe tornare al suo punto di partenza spaziale e "uccidere suo padre"?
Fig.16 : Un viaggio paradossale (schematico).
La risposta è no, poiché il segno dell'incremento elementare ds del suo tempo proprio non cambia lungo la geodetica che segue. Quindi, qual è il significato fisico di t ? Nessuno. È solo una coordinata.
Solo il tempo proprio ha un significato fisico.
Quindi, qual è la conseguenza dell'inversione di questa coordinata temporale?
Dobbiamo studiare l'azione coaggiunta del gruppo sul suo spazio dei momenti (riferimenti [11] e [12]). L'elemento del gruppo è
(100)
Questo è un gruppo a due componenti ( m = ± 1 ), la cui dimensione è 4.
La matrice inversa è:
(101)
Calcoliamo l'elemento dell'algebra di Lie. Scriviamo:
(102)
da = w
d e = e
Calcoliamo : dg' = g-1 x dg x g
(103)
(104)
Per calcolare l'azione coaggiunta (vedi rif. [11]), introduciamo lo scalare:
(105)
la cui invarianza è garantita se:
(106)
cioè:
(107)
L'identificazione fornisce l'azione coaggiunta del gruppo sul suo momento a quattro componenti:
(108)
( l , m )
Ricordiamo che il numero di componenti del momento è uguale alla dimensione del gruppo.
(109)
(110)
m' = m m
Possiamo identificare m con la massa (o con l'energia E = mc2, indifferentemente). (110) significa che quando una particella attraversa la "sfera della gola" la sua massa viene invertita (m' = -m). Ciò non è sorprendente e conferisce il significato fisico molto concreto di questa "inversione della coordinata temporale".
... Seguendo J.M.Souriau [12] possiamo chiamare la componente (m = +1) del gruppo le "ortocroni", e (m = -1) la "componente anticrona". Gli elementi della componente anticrona invertono la massa. La simmetria temporale è equivalente alla simmetria m, come mostrato da J.M.Souriau ( [12] p.197, capitolo inversioni di tempo e spazio).
- Equazioni di campo accoppiate successive.
Siamo partiti da una singola equazione di campo con termine noto nullo:
(111)
S = 0
che si supponeva provenire da un'equazione completa (di Einstein):
(112)
S = c T
applicata al vuoto (T=0). Possiamo assumere che la geometria completa possa essere descritta da due "metriche coniugate" g e g*, dalle quali possiamo costruire due tensori geometrici di Einstein S e S*. Vedere i riferimenti [13] a [15].
Se i due semispaziotempi sono vuoti, la coppia ( g , g*) è soluzione del sistema:
(113)
S = 0
(114)
S* = 0
(Una soluzione esatta stazionaria del sistema (113) e (114) è data nel riferimento [16]). Ora possiamo riempire la prima piega dello spaziotempo con massa positiva (energia e pressione positive) corrispondente a un campo tensoriale T e la seconda con massa negativa (energia negativa) e assumiamo che il campo dipenda da entrambi i campi tensoriali, attraverso il seguente formalismo:
(115)
S = c ( T - T* )
(116)
S* = c ( T*- T )
che corrisponde a geometrie coniugate:
(117)
S* = - S
Notare che ciò non significa definitivamente che g* = - g !
I tensori T e T* possono essere rappresentati con densità di massa r e r* e pressioni p e p*.
Qui consideriamo che r, r*, p e p* siano tutti positivi, per mostrare che "si tratta dello stesso tipo di materia". Il segno meno indica che la "materia gemella" si comporta come materia a massa negativa (ed energia e pressione negative). Questo sistema di equazioni di campo è stato presentato e studiato in precedenti articoli (riferimenti [13] a [15]).
- Un progetto : il modello di trasferimento iperspaziale.
Negli articoli citati, sono state presentate soluzioni accoppiate a stato stazionario [16] e soluzioni uniformi non stazionarie ([14], [15] e [17]). Intendiamo costruire soluzioni non stazionarie e non uniformi del sistema (115) più (116). Ad esempio, consideriamo condizioni iniziali in cui la materia è presente nella nostra piega dello spaziotempo F, mentre la seconda, F*, è vuota. Il sistema corrispondente sarebbe:
(118)
S = c T
(119)
S* = - c T
...Una soluzione a stato stazionario di un tale sistema è stata presentata in un precedente articolo [16]. In tali condizioni, la materia è presente solo nella piega F. Può descrivere le geometrie coniugate corrispondenti alla presenza di una stella di neutroni in questa piega, la nostra, mentre la porzione adiacente della seconda piega (gemella) F* è vuota. Inizialmente, le due pieghe non sono connesse. La soluzione, all'esterno della stella di neutroni, obbedisce a:
(120)
S = 0
(121)
S* = 0
...Poi la materia viene riversata nella stella di neutroni, fino alla criticità. Gli specialisti sanno che il primo sintomo della criticità è l'aumento improvviso della pressione fino all'infinito al centro della stella di neutroni (supposta sfericamente simmetrica), secondo il modello di Tolmann-Oppenheimer-Volkov (TOV) (rif.[1], equazione 144.22). Pensiamo che questo aumento agisca sui valori locali delle costanti della fisica (velocità della luce, costante gravitazionale, massa). Modelli con "costanti variabili" sono stati introdotti inizialmente dagli autori ([18], [19], [20], e [14]). Successivamente, altri autori hanno sviluppato questo nuovo concetto, in modo alquanto diverso [17].
...Pensiamo che ciò causerebbe la nascita di un ponte ipertoroidale, che collega le due pieghe. Allora la materia fluirebbe (rapidamente, a velocità relativistica) dalla piega F alla piega F*, attraverso questo passaggio. Come mostrato sopra, questo fenomeno inverte la massa, vedi sezione 14, equazione (110), così che la soluzione non stazionaria dipende dal sistema:
(122)
S = c ( T - T* )
(123)
S* = c ( T*- T )
"A metà del processo" T = T* . Allora la soluzione obbedisce a:
(124)
S = 0
(125)
S* = 0
...Pensiamo che questo sia il vero significato della geometria di Schwarzschild. Corrisponderebbe a un quadro che appartiene a un processo non stazionario.
...Questa soluzione non stazionaria è solo un progetto di soluzione. Non è ancora stata costruita. Non sappiamo cosa ne risulterebbe, come apparirebbe l'intero processo.