- Ancora sull'immersione e le geodetiche.
Non tutte le superfici possono essere immerse in R3. Per esempio, si consideri la metrica
(134)
dove Rs > 0 e r > 0
è definita su R modulo 2 
Espresso con quelle peculiari coordinate [ r , ], questo elemento di linea è regolare quasi ovunque (tranne che nel punto r = 0). Altrove non sorge alcun problema. Il suo gruppo isometrico è O2. Le orbite del gruppo sono cerchi r = costante. Potremmo immaginare che questa superficie possa essere immersa in R3, dove apparirebbe assisimmetrica, attorno a un qualche asse z.
Esistono geodetiche ( = costante ). Potremmo pensare che siano "linee meridiane" della superficie e che l'equazione z ( ) di un tale meridiano possa essere costruita come abbiamo fatto all'inizio dell'articolo. Lungo le geodetiche ( = costante ) :
(135)
Se questa superficie può essere immersa in R3, lungo quelle geodetiche :
(136)
il che dà :
(137)
Conclusione: questa superficie non può essere immersa in R3.
Questa metrica (135) evoca una qualche azione repulsiva.
Non tutte le superfici, come definite dalla loro metrica, possono esserlo. In ogni caso, queste superfici "esistono", anche se non possiamo afferrarle con le mani.
Si consideri la seguente ipersuperficie tridimensionale, così definita:
(138)
con Rs > 0 e r > 0
è definita su R modulo 2
Non possiamo immergere una tale ipersuperficie. Ma essa esiste e possiede "geodetiche piane" ( 
= /2).
Possiamo calcolare il sistema geodetico di queste ipersuperfici bidimensionali e tridimensionali. Possiamo raffigurarle in un piano (r,). Esse sono reali.
(139)
Il loro disegno è identico a quello della precedente superficie 2, come definita dal suo elemento di linea (134). Questi due oggetti geometrici sono semplicemente connessi.
Fig.25: Geodetiche corrispondenti agli elementi di linea (134) e (138)
(Si noti che è simile a un'azione di repulsione).
C'è qualcosa di sconcertante. Dato un elemento di linea, possiamo calcolare il sistema geodetico. Per esempio quello della rappresentazione classica della geometria di Schwarzschild corrisponde a :
(140)
Possiamo calcolare le curve r () corrispondenti a questa equazione differenziale.
Esse sono reali, anche per valori r < Rs !
Fig.26 : Linea geodetica completa, corrispondente all'elemento di linea di Schwarzschild.
Comprendiamo perché i fisici fossero sconcertati, dopo aver visto questo strano risultato. Ma c'è un fatto matematico: un elemento di linea può produrre un sistema geodetico reale, con alcune porzioni corrispondenti a un elemento di lunghezza ds immaginario.
E che dire della fisica? Identifichiamo ds come un incremento di tempo proprio. Sopra abbiamo deciso di considerare che un ds immaginario non corrisponde a un percorso fisico, il che ci ha obbligati a riconsiderare la "topologia locale" dell'ipersuperficie, cambiando la "topologia sferoidale locale" in una "topologia ipertoroidale locale".
Nei lavori precedenti si manteneva questa ipotesi di "topologia sferoidale locale", cosicché l'interpretazione fisica dell'"interno" della sfera di Schwarzschild diventava problematica. Nel riferimento [1], nella sezione 6.8 leggiamo:
(All'interno della sfera di Schwarzschild) apparirebbe dunque naturale reinterpretare r come marcatore temporale e t come marcatore radiale (...)
... ciò implicherebbe che ds2 < 0 lungo questa linea di universo.
- L'estensione analitica di Kruskal.
Nel sistema di coordinate classico [x� , r , , ] la velocità radiale della luce è :
(141)
cosicché essa tende a zero quando r tende a Rs. L'argomento di Kruskal è il seguente ( riferimento [1], sezione 6.8 ).
Questa è una caratteristica indesiderabile delle coordinate di Schwarzschild che possiamo eliminare come segue; cerchiamo una trasformazione per r e t in nuove variabili u e v in cui l'elemento di linea abbia la forma :
(6.187)
... arriviamo a una trasformazione appropriata per l'interno del raggio di Schwarzschild :
(6.204)
Mentre, fuori da quella sfera :
(6.201)
*
*
Il requisito fondamentale è che f sia regolare sulla sfera di Schwarzschild r = Rs. Sempre da [1] :
Così u serve come marcatore radiale globale, e v serve come marcatore temporale globale.
A proposito, da (6.187) , le geodetiche nulle (ds = 0) danno una "velocità della luce costante" :
(142)
Da (6.201) vediamo che quando r tende all'infinito f tende a zero, cosicché Adler, Schiffer e Bazin dicono [1] :
Esse tuttavia non corrispondono a coordinate sferiche per lo spazio piatto a distanza asintotica, come fanno le coordinate di Schwarzschild.
La metrica di Kruskal è anche una soluzione non singolare dell'equazione di Einstein in queste regioni ed è equivalente alla soluzione di Schwarzschild, ma non ha singolarità al confine (la sfera di Schwarzschild). Questa è un'estensione analitica della varietà.
Kruskal si concentra sul problema a questo confine, che diventa non singolare, essendo la singolarità concentrata nel "centro geometrico" dove f tende all'infinito. Sempre usando il riferimento [1] riproduciamo il passo dedicato ai percorsi radiali del fotone verso l'interno :
In termini di u , v la traiettoria è semplice; in termini di r e t , tuttavia, vediamo che essa inizia a un qualche r > Rs finito e a un x� finito, viaggia verso l'interno verso r = Rs mentre x� tende all'infinito, e attraversa la linea x� = infinito verso l'interno della sfera di Schwarzschild. Dopo di che r continua a diminuire lungo la traiettoria, ma x� diminuisce. ... Il presente trattamento chiarisce anche che x� non è un ragionevole marcatore temporale all'interno della sfera di Schwarzschild*.
Vediamo che "nulla è perfetto". Con la sua peculiare scelta di coordinate, Kruskal riesce ad attraversare la sfera di Schwarzschild, confinando la caratteristica singolare della soluzione geometrica in una "singolarità centrale". Ma la metrica non è più lorentziana all'infinito.
Questo mostra come la scelta delle coordinate modifichi l'interpretazione della soluzione. La nostra introduce un cambiamento nella "topologia locale" (ponte ipertoroidale ), ma ogni singolarità è eliminata.
22)Ritorno all'immersione.
Il teorema di Wiener-Graustein afferma che qualsiasi superficie n-dimensionale, con n > 2, può essere immersa in uno spazio la cui dimensione minima è
(143)
Per ipersuperfici quadridimensionali ciò corrisponde a uno spazio a 10 dimensioni. Sappiamo che le geodetiche della geometria di Schwarzschild giacciono in piani. = p/2 corrisponde a uno di essi. Possiamo allora concentrarci su un sottoinsieme di geodetiche ( = p/2). Queste geodetiche dipendono da due parametri l e h . Sappiamo che le geodetiche ( l =1 ) corrispondono a particelle la cui velocità è zero all'infinito.. Inoltre, scegliamo il sottoinsieme di geodetiche ( = costante ). Allora :
(144)
Introduciamo una coordinata aggiuntiva z e scriviamo :
(145)
ds 2 = dr 2 + dz 2
(146)
Un'equazione differenziale la cui soluzione è :
(147)
Possiamo raffigurare queste geodetiche in uno spazio tridimensionale [ z , r ,]. Esse sono linee meridiane di una superficie assisimmetrica.
Fig. 27 : Il meridiano della superficie in cui viene operata un'immersione isometrica delle geodetiche di Schwarzschild ( = costante).
Nello spazio tridimensionale, questa superficie assomiglia alla figura 28 (un taglio a metà).
Fig.28 : La superficie di immersione.
Se vi disegniamo le geodetiche "radiali", otteniamo la figura 29.
Fig.29 : Rappresentazione di geodetiche "radiali". In basso : la loro proiezione su un piano [ r ,].
È un'immersione molto parziale, poiché è limitata all'insieme delle geodetiche "radiali". La figura 29 evoca una piega e suggerisce l'enantiomorfia. In effetti, si consideri un insieme di tre punti che seguono geodetiche radiali. Otteniamo
Fig.30-a : Tre punti materiali, che cadono verso la gola lungo percorsi "radiali".
e :
**Fig.30-b : Gli stessi, dopo aver attraversato la gola.
Il triangolo è stato invertito.**
Sulla proiezione piana [ r ,] l'orientamento del triangolo è invertito.
Immaginiamo ora quattro particelle di prova che seguono traiettorie radiali, cadendo verso la sfera di Schwarzschild, formando un tetraedro. Si veda la figura 31.
Fig.31 : Quattro particelle che cadono sulla sfera di Schwarzschild lungo geodetiche "radiali" in uno spazio di rappresentazione euclideo tridimensionale.
Fig.32 : Dopo il "rimbalzo" sulla sfera di Schwarzschild le particelle viaggiano nello spazio gemello. Il tetraedro è invertito (enantiomorfia)
Torniamo alla rappresentazione precedente. Anche il vettore normale è invertito :
Fig.33 : Una peculiare geodetica = costante nella sua rappresentazione
Nell'insieme delle geodetiche (l = 1) , in uno spazio ( r ,, z ).