Inversion della sfera e immersione della bottiglia di Klein

L'inversione della Sfera

7 dicembre 2004

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**Introduzione. **

Considereremo in seguito delle superfici chiuse, come la sfera, il toro e alcune altre. Sono superfici nel senso in cui l'immagina un uomo comune, cioè sono oggetti a 2 dimensioni che vengono rappresentati in uno spazio euclideo a tre dimensioni, R3, che è il nostro spazio mentale di rappresentazione. Queste superfici possono essere rappresentate in diversi modi. Se non si intersecano da sole, si dirà che sono immersive (in R3). Se si intersecano, parleremo allora di immersio-ni e questa intersezione si tradurrà con la presenza di un insieme di auto-intersezione (self-intersection).

Nei nostri immersioni supporremo che il piano tangente vari in modo continuo e che la superficie non abbia singolarità come ad esempio il vertice di un cono. Le nostre superfici saranno regolari.

Nel caso delle immersioni richiederemo che lungo le linee di auto-intersezione i due piani tangenti alle falde che si intersecano siano distinti.

Il mondo della geometria, come lo concepisce il matematico, è abbastanza diverso dal mondo fisico. Il fatto che le superfici possano attraversarsi da sole non lo disturba affatto. Il mondo fisico non permette questo genere di cose. Ma diventa possibile nel mondo metafisico. Così, nella Bibbia si legge che quando i morti risorgeranno, lo faranno in forma di "corpi gloriosi". Potranno allora passare attraverso qualsiasi cosa e in teoria saranno in grado di attraversarsi da soli. Così, quando giungerà il tempo del Giudizio Finale, se giri per Roma in forma di corpo glorioso, e ti perdi cercando la piazza Navona, potresti essere tentato di chiedere la strada a un altro morto risorto, che abbia la stessa apparenza di te. Supponiamo che la persona che interroghi vada nella direzione opposta rispetto a questa piazza. Nello spazio fisico ordinario, per indicarti la strada giusta, dovrebbe girarsi su se stesso per indicare con il dito in quella direzione. Ma se cammina in forma di corpo glorioso, non sarà più necessaria questa rotazione. Potrà indicare con l'indice sul suo ombelico e attraversarsi da solo. Quando la sua mano riapparirà emergendo dalla sua schiena, non gli resterà che dirti "è da questa parte". Infilando il braccio attraverso il suo ventre avrà creato nell'involucro corporeo un insieme di auto-intersezione formato da due cerchi, che scomparirà quando riprenderà la sua configurazione normale.

Se un essere umano chiude la bocca, mette una molletta sulle narici per chiuderle e si ignora gli altri orifizi naturali, il suo involucro corporeo assume allora la topologia della sfera S2. Immaginiamo un essere risorto in forma di corpo glorioso i cui orifizi naturali siano così chiusi. Sappiamo che può attraversarsi da solo, cioè il suo involucro corporeo può passare da una situazione di immersione a una situazione di immersione. Uno dei problemi metafisici che si è posto è stato se un uomo risorto in forma di corpo glorioso potesse girarsi senza creare pieghe.

Una piccola osservazione in passaggio. I prestigiatori sanno usare dei "cerchi magici" che possono interpenetrarsi "in modo magico". Si potrebbe immaginare di rappresentare delle superfici utilizzando un tipo di "gabbia magica" tale che le due falde, rappresentate qui una in nero e l'altra in rosa, possano attraversarsi senza difficoltà.

La gabbia magica

In ogni caso, bisogna convenire che spesso non c'è molta differenza tra matematica e magia. Ho creato venti anni fa un fumetto: il Topologicon. È ora esaurito e irrintracciabile, tranne che come oggetto di collezione. Su una delle pagine si poteva vedere questo:

È veramente un peccato che le edizioni Belin abbiano deciso di abbandonare questa collezione. Bisogna dire che con un costo di produzione di appena un euro, vendere i volumi a 13 euro (più le spese di spedizione), in vendita per corrispondenza, nonostante lasciasse un margine di guadagno di 12 euro, cioè con un guadagno che superava il 92% del prezzo di vendita, non corrispondeva a una strategia commerciale molto evidente, specialmente per un nero e bianco.

Consideriamo una sfera S2 immersa in R3. Supponiamo che la sua superficie esterna sia grigia e che il suo interno abbia un colore rosa antico. Possiamo premere due punti antipodali, che chiameremo arbitrariamente "polo nord" e "polo sud", fino a metterli in contatto in un punto. Si può fare questo ad esempio con un ciambellone. Quando si tratta di un ciambellone matematico (non sappiamo se i ciambelloni risorgeranno o meno in forma di corpo glorioso), le due aree polari, dopo essere state in contatto in un punto, possono attraversarsi da sole lungo una curva di auto-intersezione che assume la forma di un cerchio. In anticipo, diremo che questa superficie ha subito una catastrofe di tipo Do.

Si potrebbe quindi essere tentati di provare a girare il ciambellone, la sfera, proseguendo l'operazione. Ma allora si formerà un rigonfiamento, che degenererà in una brutta piega, o più esattamente una superficie di ribaltamento (figura d).

Verso la fine degli anni cinquanta la seria domanda se si potesse girare i ciambelloni metafisici senza creare pieghe restava irrisolta. In verità, tutti pensavano che fosse strettamente impossibile. Ma nel 1957 un matematico, Stephen Smale (che ricevette la medaglia Fields ma per un lavoro completamente diverso) dimostrò che le diverse immersioni della sfera S2 in R3 costituivano un unico insieme e che era sempre possibile trovare una sequenza di deformazioni continue di immersioni (chiamate anche omotopie regolari) che permettessero di passare da una situazione all'altra. Il corollario era che si doveva poter passare, con una sequenza continua di immersioni, dal plongement standard della sfera S2 al plongement antipodale. Detto in termini più semplici: si doveva poter girare una sfera senza creare pieghe, a condizione di permetterle di girarsi da sola.

Il mentore di Smale si chiamava Raoul Bott. Quest'ultimo chiese al suo allievo come si dovesse procedere e Smale rispose che non ne aveva la minima idea, ma che il suo teorema era completamente inattaccabile. Smale non vedeva affatto nello spazio ma non gli importava (come capita a molti geometri). E, se si è onesti, dopo aver dimostrato il suo teorema si era preso becco della maniera in cui si poteva concretizzare la cosa e si era subito interessato ad un altro argomento, lasciando i colleghi matematici nella massima perplessità. Trovo che non sia molto simpatico creare così dei problemi e lasciare poi la gente a cercare la soluzione dieci anni dopo.

Bisogna dire che è abbastanza difficile immaginare le immersioni nella propria testa. Tuttavia, conosciamo delle superfici che non possono essere rappresentate in R3 che in questo modo. La bottiglia di Klein, ad esempio.

Bottiglia di Klein

L'abbiamo rappresentata qui con un sistema di maglia-sistema di coordinate costituito da due insiemi di curve chiuse, come il toro. Si può così magliare una bottiglia di Klein senza creare singolarità di maglia. Ma come si può vedere, questa superficie si attraversa necessariamente lungo una curva chiusa, un cerchio. Non si può quindi immergere un...