Inversion della sfera e permutazione dei punti cuspidali

L'inversione della sfera

8 dicembre 2004

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Permutazione dei punti cuspidali di una crosscap

Questo costituirà un piccolo intermezzo, nel modo "a cosa serve l'inversione della sfera?". Qui: per scambiare i due punti cuspidali di una crosscap, che sembrava a priori impossibile. Ho inventato questo piccolo trucco da una dozzina di anni. Non è mai stato pubblicato. Ma dove pubblicare cose di questo tipo? Non si sa bene. Non si tratta di "un risultato importante in matematica", ma è comunque un esercizio abbastanza attraente. In seguito utilizzeremo rappresentazioni poliedriche. A destra la crosscap "rotonda" e a sinistra una delle sue possibili rappresentazioni poliedriche.

**La crosscap con una delle sue molteplici rappresentazioni poliedriche. **

Nella figura in basso a destra abbiamo sistemato i due punti cuspidali C1 e C2 situati agli estremi della sua linea di auto-intersezione in una sorta di porzione di sfera. Sappiamo che possiamo invertire una sfera. Quindi possiamo applicare lo stesso trattamento a questo oggetto, senza preoccuparci dei diversi passaggi di questa trasformazione. In forma poliedrica, ciò corrisponderà all'inversione del cubo.

Tutto ciò che sappiamo è che, al termine dell'operazione, avremo due tipi di invaginazioni che sembreranno ciò che vedrebbe un osservatore che si trovasse "dentro" alla crosscap iniziale (espressione impropria, poiché questa superficie è unilaterale).

Dopo l'inversione, dal cubo a sinistra, dalla sfera a destra

La rappresentazione poliedrica è comunque molto comoda per non perdere il filo di queste operazioni. Resta solo da infilare due dita in queste invaginazioni e tirare tutto verso l'esterno:

Tirare il punto cuspidale C2 "all'esterno"

Se vi diverte, potrete costruire i modelli poliedrici con del cartone. A meno che qualcuno non costruisca questi modelli in vrml per poterli manipolare.

Resta solo da completare l'operazione.

**Passaggio a un'immersione identica a quella di partenza, con i punti cuspidali scambiati. **

Ho promesso un giorno di fare un dossier sulle mie esperienze con il psicanalista Jacques Lacan. La crosscap gli era servita per modellare il "fantasma fondamentale". Si era concentrato sul "punto cuspidale centrale" e aveva semplicemente trascurato il secondo. In questa zona centrale, Lacan aveva localizzato il "fallo linguistico" o "oggetto piccolo a". Vi racconterò il resto un'altra volta. Comunque, Lacan non aveva previsto che questi punti potessero essere "père - mutati". In realtà, quando mi aveva parlato di questa modellazione linguistico - geometrico - psicanalitica, avevo alzato le sopracciglia immaginando che in questa crosscap i due punti cuspidali potessero svolgere ruoli diversi e, nella frazione di secondo successiva, semplicemente ponendomi la domanda, avevo trovato il modo di scambiarli. Lacan ne fu abbastanza sorpreso, ricordo. Il suo fantasma fondamentale aveva due falli linguistici invece di uno solo. Tutto il suo lavoro era stato costruito intorno a quell'oggetto. Ma gli proposi immediatamente una soluzione alternativa collocando il fallo linguistico al polo (unico) di una superficie di Boy. Così, tutto tornò al suo posto, alla sua grande soddisfazione.

Questo episodio si è verificato poco prima della sua morte. A quanto ho potuto constatare, questo riallocamento psicanalitico - geometrico non sembra aver ancora diffuso all'interno della comunità degli psicanalisti lacaniani.

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