Inversion della sfera e permutazione dei punti cuspidali

L'inversione della sfera

8 dicembre 2004

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Permutazione dei punti cuspidali di una crosscap

Questo costituirà un piccolo intermezzo, nel modo "a cosa serve l'inversione della sfera?". Ecco: a scambiare i due punti cuspidali di una crosscap, che sembrava a priori impossibile. Ho inventato questo piccolo trucco da una dozzina di anni. Non è mai stato pubblicato. Ma dove pubblicare cose di questo tipo? Non si sa bene. Non si tratta di "un risultato importante in matematica", ma è comunque un esercizio abbastanza attraente. In seguito utilizzeremo rappresentazioni poliedriche. A destra la crosscap "rotonda" e a sinistra una delle sue possibili rappresentazioni poliedriche.

**La crosscap con una delle sue multiple rappresentazioni poliedriche. **

Nella figura in basso a destra abbiamo sistemato i due punti cuspidali C1 e C2 situati all'estremità della sua linea di auto-intersezione in una sorta di porzione di sfera. Sappiamo che possiamo invertire una sfera. Quindi possiamo far subire lo stesso trattamento a questo oggetto, senza preoccuparci delle diverse fasi di questa trasformazione. In forma poliedrica, ciò corrisponderà all'inversione del cubo.

Tutto ciò che sappiamo è che, alla fine dell'operazione, avremo due tipi di invaginazioni che sembreranno ciò che vedrebbe un osservatore che si trovasse "dentro" della crosscap iniziale (espressione impropria poiché questa superficie è unilaterale).

Dopo l'inversione, dal cubo a sinistra, dalla sfera a destra

La rappresentazione poliedrica è comunque molto utile per non perdere il filo di queste operazioni. Resta solo da infilare due dita in queste invaginazioni e tirare tutto verso l'esterno:

Tirare il punto cuspidale C2 "all'esterno"

Se vi diverte, potrete costruire i modelli poliedrici con del cartone. A meno che qualcuno non costruisca questi modelli in vrml per poterli manipolare.

Resta solo da completare l'operazione.

**Passaggio a un'immersione identica a quella iniziale, con i punti cuspidali scambiati. **

Ho promesso un giorno di fare un dossier raccontando le mie esperienze con il psicanalista Jacques Lacan. La crosscap gli era servita per modellare il "fantasma fondamentale". Si era concentrato sul "punto cuspidale centrale" e aveva semplicemente trascurato il secondo. In questa zona centrale Lacan aveva localizzato il "fallo linguistico" o "oggetto piccolo a". Ve ne parlerò un'altra volta. In ogni caso, Lacan non aveva previsto che questi punti potessero essere "père - mutati". In realtà, quando mi aveva parlato di questa modellazione linguistico - geometrico - psicoanalitica, avevo alzato le sopracciglia immaginando che in questa crosscap i due punti cuspidali potessero svolgere ruoli diversi e, nella seconda successiva, semplicemente ponendomi la domanda, avevo trovato il modo di scambiarli. Lacan ne fu abbastanza sorpreso, ricordo. Il suo fantasma fondamentale aveva due falli linguistici invece di uno solo. Tutto il suo lavoro si basava su quell'oggetto. Ma gli ho subito proposto una soluzione alternativa collocando il fallo linguistico al polo (unico) di una superficie di Boy. In questo modo, tutto tornò al suo posto, alla sua grande soddisfazione.

Questo episodio si è verificato poco tempo prima della sua morte. A quanto ho potuto constatare, questo riallocamento psicoanalitico - geometrico non sembra aver ancora diffuso all'interno della comunità degli psicoanalisti lacaniani.

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