Il rovesciamento della Sfera

Il rovesciamento della Sfera

7 dicembre 2004

pagina 3

**Le catastrofi elementari. **

Abbiamo già detto sopra che le immersioni che consideravamo erano tali che i piani tangenti lungo i loro insiemi di auto-intersezione, quando ne erano dotati, restavano distinti. È allora possibile passare da un'immersione all'altra utilizzando quattro catastrofi elementari. Morin gli aveva dato dei nomi, che compaiono nei disegni seguenti. La prima porta alla creazione di una curva chiusa (e alla sua distruzione, operazione inversa). Questo accade quando si immerge il gomito nell'acqua di un lavandino per valutarne la temperatura (a sinistra). Figura a4: le superfici sono in contatto in un punto. In a5 la curva di auto-intersezione è stata creata. Nel seguito del testo chiameremo questa operazione "la catastrofe del gomito".

La "catastrofe del gomito": creazione - distruzione di una curva chiusa

La seconda catastrofe è quella della "fetta di mandarino":

**La catastrofe consistente nella creazione-distruzione di una "fetta di mandarino". **

Se si osservano bene queste immagini, da sinistra a destra si vedrà che un cilindro parabolico si avvicina a un diedro. L'insieme di auto-intersezione è costituito da due curve di aspetto parabolico, disgiunte, e ovviamente dall'arista del diedro. Nella figura centrale l'arista del diedro è in contatto con una delle generatrici del cilindro. Questa arista è tangente al cilindro in quel punto. L'insieme di auto-intersezione è costituito da due curve di aspetto parabolico, tangenti in un punto, e all'arista del diedro. Figura di destra: il cilindro parabolico ha proseguito il suo movimento. La curva di auto-intersezione si è modificata. È costituita dall'arista del diedro, più le curve paraboliche che si intersecano in due punti, situati sull'arista del diedro. Si può considerare al contrario che il cilindro parabolico sia fermo e che siano i due "piani di taglio" a muoversi. La figura di destra evoca allora due colpi di ascia, o due tagli effettuati con la sega. Il truciolo è inoltre rappresentato. Morin lo paragonava a una "fetta di mandarino", immagine molto espressiva.

La terza catastrofe è quella "dei pantaloni".

La catastrofe "dei pantaloni"

Le immagini sono sufficientemente esplicative. Si scende da sinistra a destra un paio di pantaloni nell'acqua. A sinistra l'uccello passa sotto la coscia ma il pesce rimane rinchiuso in una delle gambe. A destra il pesce passa, ma il passaggio che aveva usato l'uccello è scomparso. Al centro la situazione intermedia. Ciò che conta è la modifica locale della curva di intersezione, che corrisponde a ciò che si chiama una "chirurgia", un cambiamento di connessione di archi di curva. Provate a integrare bene questa trasformazione che si rivelera la più difficile da mettere in atto e a vedere bene nell'omotopia del rovesciamento della sfera. Ricordate bene che questa catastrofe chiude un passaggio mentre ne apre un altro nella direzione perpendicolare.

La quarta e ultima catastrofe è quella dell'"inversione di un tetraedro":

La catastrofe che inverte un tetraedro

La curva di auto-intersezione è costituita da quattro "rette" che sono i prolungamenti dei quattro lati di un tetraedro. Nella figura di sinistra si è isolato questo tetraedro che mostra le sue facce grigie verso l'esterno. A destra, invece, è il contrario: le facce sono rosa. Al centro, la situazione intermedia: il tetraedro è ridotto a un punto Q (doppio, poiché è l'intersezione di quattro fogli).

Con queste quattro catastrofi andremo a considerare di rovesciare una sfera seguendo una successione continua di immersioni trasversali. Questa variante è dovuta al matematico (cieco) Bernard Morin. Il nostro incontro vale la pena di essere raccontato. Un giorno un tecnico della facoltà di lettere mi chiese di portare le mie capacità di disegnatore a un conferenziere che doveva parlare di geometria. Andai a quel appuntamento senza alcuna sospetto. Ero sempre stato abile nel vedere gli oggetti nello spazio e quando il nostro professore di matematica superiore ci dava da trattare un problema di geometria descrittiva tracciavo l'intersezione e fornivo una vista in prospettiva mentre lui produceva il suo enunciato. Ma lì le cose sarebbero andate diversamente.

Non ebbi alcuna difficoltà a disegnare le figure sopra. Ma quando bisognava integrarle in uno schema che implicava il rovesciamento della sfera finii per perdere completamente la testa, di fronte a un intero insieme di fogli disposti uno dietro l'altro. Offeso, tornai a vedere quel personaggio strano che, pur privo della vista, sembrava più a suo agio di me in quel dispiegamento di forme. Seguii allora i suoi corsi per diversi mesi. Il dialogo era abbastanza complicato. Dalla sua parte aveva solo il ricorso alla parola. Dalla mia potevo sia descrivere i miei disegni, sia mettere tra le sue mani dei modelli realizzati tornando a casa, o successivamente sul posto. Sarebbe stato necessario registrare questi dialoghi, assolutamente surreali, del tipo:

*- Prova a immaginare due curve che si uniscano formando una specie di frusta per battere le uova. *

Nonostante la personalità difficile del personaggio, questi incontri rimasero inesauribili per me. Finii solo per abituarmi a prendere due aspirine prima delle nostre sessioni di lavoro, a titolo preventivo. Il suo carattere può essere riassunto nel soprannome con cui sua moglie lo aveva qualificato: "Fulmine benedetto", un personaggio della serie a fumetti di Hergé "Tintin in Tibet". Le rancore di Morin avevano un carattere altrettanto leggendario e irreversibile. A volte parlava di alcuni dei suoi nemici, che erano passati a miglior vita, lanciando loro parole come:

- A volte gli lancio una piccola maledizione nell'aldilà, dicendomi che se non gli fa male, almeno non può far loro del bene.

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