Il ritorno della sfera matematica delle catastrofi

Il ritorno della sfera

8 dicembre 2004

pagina 4

La versione di Bernard Morin

Per scaricare la versione pdf dell'articolo del 1979 di B. Morin e J.P. Petit, apparso su Pour la Science

Il ritorno della sfera (2,8 Mo)

Partiamo da una sfera che mostra la sua faccia grigia verso l'esterno e la sua faccia rosa verso l'interno. In b e c portiamo i poli in contatto. Poi le falde si intersecano secondo una "catastrofe del gomito". Si crea una curva chiusa di auto-intersezione. In basso a destra tre mezzi tagli permettono di comprendere meglio la configurazione ottenuta. A questo punto la sfera assomiglia a un "canotto pneumatico" circolare, con un "boudin" e un "pavimento" a doppia parete.

Prima fase: una "catastrofe del gomito". Creazione di una curva chiusa di auto-intersezione

Seconda operazione: nuova catastrofe del gomito, creazione di una seconda curva chiusa.

Seconda creazione di una curva chiusa di auto-intersezione.

Per fare ciò il "canotto pneumatico" si è piegato, con un movimento di torsione, permettendo di portare due parti del "boudin", diametralmente opposte, in contatto. La figura seguente è il risultato di due catastrofi che portano alla creazione di "fette di mandarino".

Dopo la creazione di due "fette di mandarino"

A sinistra si sono effettuati tagli nel modello. Al centro la maniera in cui i due cilindri, localmente, la sezione influisce sulla forma della lettera greca "gamma" si sono interpenetrati. Ci ricordiamo che la catastrofe di creazione delle "fette di mandarino" si effettuava tagliando una "bucata" con due piani formanti un diedro. Ogni struttura cilindrica la cui sezione è in "gamma" presenta sia la sezione arrotondata che il diedro. Guardate attentamente la figura i. In j si è disegnato l'insieme di auto-intersezione. La porzione di curva chiusa più grande proviene dalla prima "catastrofe del gomito" che aveva trasformato la sfera in "canotto pneumatico". Dopo la creazione delle due fette di mandarino si ottiene un insieme più complesso di cui j è un sottinsieme. In j" si vede che questa struttura può essere paragonata all'assemblaggio di due "fette di mandarino" su due spigoli di un tetraedro, non adiacenti.

Tutto questo un giorno sarà molto più semplice da comprendere quando avrò potuto produrre delle animazioni. Non mi presenta alcun problema tecnico a priori. È semplicemente una questione di tempo. Poche persone possono non solo vedere nello spazio, cioè leggere questo codice utilizzando linee, tratteggi, colori, ombre e riflessi, ma anche concatenare nella loro testa delle trasformazioni immaginando il movimento suggerito. Spero un giorno di avere tempo per fare tutte queste cose. Osserviamo di passaggio che si potrebbero utilizzare modelli poliedrici, come ho fatto per mostrare come si può trasformare una Crosscap in una Superficie di Boy. È il futuro. Ma questi modelli vanno inventati. Si troverà più avanti la versione poliedrica ottimizzata del modello centrale di questa trasformazione immaginata da Bernard Morin (ricordiamo che è un cieco!), con la maniera di costruirlo da soli a partire da un taglio.

Perché non ho spinto queste cose più in là? Direi: per mancanza di "sbocchi". Non ci sono riviste di matematica che accettano di pubblicare lavori di questo tipo. Abbiamo potuto farlo nel 1975-78 attraverso alcune note ai Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, che probabilmente non sono state lette da molti. Ma era perché l'accompagnatore André Lichnérowicz si interessava personalmente a questi lavori. È oggi deceduto. Poiché questi lavori avevano completamente concluso già nel 1975, sarebbe stato auspicabile produrre un film d'animazione a partire dai miei disegni. Avendo lavorato nel disegno animato, ero pienamente in grado di coordinare un'impresa del genere. Ma fu impossibile trovare finanziamenti al Cnrs e alla fine fu il matematico americano Nelson Max che, ispirandosi a modelli costruiti dal suo collega Charles Pugh (della stessa versione del ritorno della sfera), e utilizzando un potente computer riuscì a produrre il primo film. Ma non è né la prima né l'ultima volta che i francesi, non ricevendo alcun riscontro ai loro sforzi, vengono così battuti da colleghi stranieri meglio organizzati e meglio sostenuti.

Passiamo alla terza fase, la più difficile da comprendere.

Preparazione di due catastrofi "dei pantaloni"

Nella figura k si distinguono chiaramente i due estremi "delle gambe dei pantaloni", il dettaglio figura in primo piano k'. La freccia bianca indica il passaggio "tra le gambe". Questa trasformazione è veramente difficile da comprendere. Ho aggiunto il disegno m per cercare di spiegarmi meglio. In l ho rappresentato con tratteggi la curva di auto-intersezione, che figura nell'insieme in l'. Un passaggio (quello percorso dalla freccia bianca) si chiuderà. Questo movimento di chiusura andrà con l'innalzamento di una parte della curva di intersezione, in due punti. Questi pezzi di curva andranno a contatto, ciascuno, su una delle linee appartenenti alle "fette di mandarino". Quando il contatto avverrà, la chirurgia si opererà. La difficoltà deriva dal fatto che quando si è visto le quattro catastrofi elementari, nella pagina precedente, bisogna essere in grado di trasporle da tutti i lati, girando il collo, se necessario. In n si è rappresentato il momento critico in cui la chirurgia si opera (la "situazione media" della trasformazione) e dove il modo di collegamento degli estremi della curva verrà modificato. Si sa che questa catastrofe "dei pantaloni" chiude un passaggio e ne apre un altro. Il passaggio iniziale è rappresentato dalla freccia bianca. Ma ne esiste un altro che si vedrebbe nello stesso angolo facendo ruotare il modello di 180° intorno a un asse verticale. Queste frecce non formano che una. Prima che queste catastrofi si operino è ancora possibile circolare in questo "canotto pneumatico ripiegato". Quando queste catastrofi avranno fatto effetto, questo passaggio non sarà più possibile. Al contrario, due altri passaggi si saranno creati. Ma dove, quali parti dello spazio sono coinvolte? Questi passaggi metteranno in comunicazione l'interno delle fette di mandarino con l'esterno. In l', queste fette di mandarino, le vedete. Passiamo alla fase successiva.

Chiusura del passaggio. Verso una doppia situazione critica

In o si rappresentano le due catastrofi "dei pantaloni" a due stadi diversi. Uno dei passaggi è completamente chiuso. Siamo in situazione critica, immediatamente prima che gli archi di curva cambino il loro modo di connessione. A destra (dettaglio sulla figura o' ) il passaggio è solo in fase di chiusura. Così l'aspetto della curva di auto-intersezione o" è diverso a destra e a sinistra. Sulle figure p, p' e p" la criticità (situazione "media" della trasformazione) è raggiunta su entrambi i lati. Sulla tavola seguente le chirurgie hanno fatto effetto. I tubi...