Rovesciamento del toro in topologia

Il Rovesciamento del Toro

9 dicembre 2004

pagina 5

Un risultato di questi lavori: il rovesciamento banale del toro

Se è risultato così difficile rovesciare una sfera, invece, partendo da lì, è estremamente facile rovesciare un toro. Si può persino dire che è alla portata di un bambino di dieci anni. Questo non è altro che una sfera dotata di un manico. Si procede come fu fatto per scambiare i due punti cuspidali di una Crosscap, cioè si rovescia la sfera senza porre domande. Il manico si trova allora all'interno. Si può dire che questo "ponte" si trasforma in un "tunnel". Ora, tutti gli ingegneri sanno che un tunnel in una rete stradale può essere trasformato in un punto grazie a un'omotopia regolare.

Quando la sfera è rovesciata, basta infilare un dito in questo tunnel e tirare un colpo secco. Vedere i disegni seguenti.

Il rovesciamento banale del toro

Anche se non si vede molto bene in questo disegno, si è rappresentato in a uno dei cerchi generatori del toro, che costituiscono una delle due famiglie di cerchi che permettono di mappare il toro senza creare singolarità di mesh (vedere il Topologicon). Quando il manico è stato concentrato in una regione di una sfera con manico b la curva è ancora visibile. Quando la sfera con manico è stata rovesciata, in c, e l'operatore infila il dito nel tunnel, questa curva circonda il dito. Quando estrae il manico, in d, si vede (immagine finale e, quella del toro rovesciato) che questo cerchio è diventato il cerchio della gola della superficie. Così, quando si parte da un toro mappato con una doppia rete di cerchi meridiani e cerchi paralleli (il cerchio della gola appartenente a questa seconda famiglia), si vede che l'operazione di rovesciamento scambia queste due famiglie. C'è qualcosa di magico e devo ammettere che supera la mia comprensione personale. Ogni persona deve imparare a conoscere i propri limiti. Personalmente penso che ci siano certe procedure mentali in cui il cervello dovrebbe essere dotato di un fusibile.

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