Il rovesciamento del toro di Klein

Il rovesciamento del toro

9 dicembre 2004

pagina 6

Il rovesciamento non banale del toro **
**J.P.Petit : ** **
Rapporti della Accademia delle Scienze.
tomo 293, seduta del 5 ottobre 1981, serie 1 pagg. 269-272

Mi limiterò a presentare la serie di disegni, senza commentarli.

Rovesciamento non banale del toro. Prima parte della trasformazione

Rovesciamento non banale del toro. Seconda parte della trasformazione

Quando si arriva alla figura v si vede che è allora facile sovrapporre la struttura grigia e la struttura rosa per trasformare questo oggetto in un rivestimento a due fogli della bottiglia di Klein.

Il rovesciamento avviene allora scambiando i fogli vis-à-vis. Di seguito, lo stesso disegno con una codifica cromatica.

Rivestimento a due fogli della bottiglia di Klein, con codifica cromatica

(questo disegno non fa parte del mio rapporto annuale al Cnrs. Lo si troverà nel Topologicon )

Le diverse famiglie di tori.

Ciò che aveva dimostrato Stephen Smale nel 1957 era che esisteva una sola famiglia di immersioni della sfera e che tutte queste potevano essere collegate tra loro da un'omotopia. Queste formavano un gruppo il cui elemento neutro consisteva nel lasciare l'oggetto come si trovava. Si chiese se potesse essere lo stesso per il toro. I matematici Ioan James e Emery Thomas hanno dimostrato che le immersioni del toro si suddividevano in quattro continenti tra i quali non era possibile passare utilizzando un'omotopia regolare.

Le quattro famiglie di tori

Il "toro standard", disegnato al centro della pagina, appartiene alla stessa famiglia dell'oggetto rappresentato in b. Questo è ciò che ho mostrato di passaggio nella versione del rovesciamento del toro che ho inventato nel 1980. La famiglia menzionata in a rappresenta un toro che ha subito un torsione di 360°. Somiglia al toro standard ma i due si definiscono a partire dal loro sistema di mappatura, utilizzando due famiglie di curve. Nel toro standard si utilizzano due insiemi di cerchi assimilati a meridiani e paralleli. Sul toro a bisognerebbe completare la famiglia di cerchi attaccati con un'altra famiglia, che si torsiona in senso inverso. Si può dimostrare allora che è impossibile, utilizzando un'omotopia regolare, far coincidere la griglia di questo toro a con la griglia del toro standard (cerchi meridiani più cerchi paralleli). È in questo senso che sono oggetti diversi. Tutti questi oggetti possono ovviamente essere configurati come un rivestimento a due fogli della bottiglia di Klein.

La potenza degli strumenti del geometra è poter prevedere ciò che è possibile e ciò che non lo è. Trasformare il toro standard in un toro come in figura b: sì. Passare da c a d: no.

Questo evita di sprecare tempo inutilmente e incoraggia soprattutto a cercare cose che non sono affatto evidenti, come il rovesciamento di una sfera. È così in tutte le scienze. A volte le persone passano accanto a metodi fecondi per anni, o persino per secoli, semplicemente perché li consideravano impossibili da realizzare. Ho dedicato alcuni anni della mia vita a costruire una teoria per la soppressione delle onde d'urto intorno a un oggetto che si muove a velocità supersonica in un gas, utilizzando un campo di forze di Laplace, la "MHD". Un studente ha persino scritto una tesi su questo argomento sotto la mia direzione e abbiamo pubblicato questi lavori su diverse riviste con comitato di lettura e convegni scientifici. È un tema che inizia solo ora a prendere piede, trent'anni dopo. Si sospetta che gli americani dispongano di aerei ipersonici in grado di volare a Mach 10 senza creare onde d'urto (e in particolare senza subire le formidabili tensioni termiche legate alla ricompressione dell'aria dietro questi "bang". È il famoso mito dell'Aurora, un aereo che vola all'altitudine in cui si verificano le aurore polari, tra i 80 e i 150 km di altitudine. Aurora è anche la prefigurazione dei futuri veicoli spaziali che, appoggiandosi all'aria, saranno molto più economici delle navette del Cnes. È stato impossibile, in Francia, iniziare ricerche di questo tipo (ho avuto queste idee nel 1975), perché la gente, in particolare al Cnrs, le considerava totalmente irragionevoli. Il risultato rappresenta trent'anni di ritardo rispetto agli Stati Uniti, a mio parere irrecuperabili.

La battuta del tabacco

Per essere completi, bisogna citare le versioni del rovesciamento della sfera che hanno come oggetto centrale una battuta del tabacco. Era un oggetto comune quando ero giovane, ma oggi non si incontra più molto. Il primo a disegnare queste sequenze è stato Georges Francis. Da alcuni anni lavoro su una versione poliedrica di queste, che ha già dato un modello centrale abbastanza bello. Ma, per mostrarvelo, dovrò riuscire a rimetterci le mani. Presto, spero, perché è uno degli oggetti più affascinanti che abbia mai creato.

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