Proposta di seminario in cosmologia
2 novembre 2006
Geometrizzazione
del modello cosmologico di Andrej Sakharov
J.P. Petit
& G. D'Agostini
2 novembre 2006
Il premio Nobel Andrej Sakharov è poco noto per i suoi lavori nel campo della cosmologia ( [1], [2], [3] ). Un degli autori ( [7], [8], [9], [10], [11] ) ha lavorato fin dal 1977 in questa direzione, ignorando i suoi studi, dei quali ha preso conoscenza solo nel 1984, al momento della pubblicazione in Francia di un volume intitolato « Andrej Sakharov, opere scientifiche » [4], inizialmente pubblicato in lingua inglese nel 1982 [5].
Definendo schematicamente questo modello, che implica una simmetria T, Andrej Sakharov esprime la sua preoccupazione principale: spiegare l'assenza di antimateria nell'universo osservabile. Dopo aver considerato una simmetria T, Sakharov opta per universi simmetrici rispetto alla CPT [6].
Tradurremo questa idea in termini geometrici utilizzando gli strumenti seguenti:
Gruppi dinamici -
Spazio dei momenti (duale dell'algebra di Lie del gruppo)
(riferimento: Struttura dei sistemi dinamici, J.M. Souriau, 1972 [12])
Partiamo dal gruppo di Poincaré, gruppo di isometria dello spazio di Minkowski. Il numero delle componenti del momento è uguale alla dimensione del gruppo, cioè dieci.
Queste componenti sono raggruppate come segue:
Una componente che è l'energia E
Tre componenti che formano il vettore impulso.
Tre componenti costituiscono ciò che Souriau chiama il
« passaggio »
Le altre tre formano il
« tormento ».
(questo approccio permette di far emergere il momento angolare come oggetto puramente geometrico, vedere riferimento [12], pagina 181).
Il gruppo di Lorentz possiede quattro componenti connesse.
La prima, la componente neutra del gruppo, non inverte né lo spazio né il tempo.
La seconda inverte lo spazio (simmetria P) ma non il tempo.
La terza inverte il tempo ma non lo spazio (simmetria T)
La quarta inverte sia lo spazio che il tempo: (simmetria PT).
Souriau raggruppa le prime due componenti del gruppo di Lorentz per formare ciò che chiama
il sottogruppo ortocrono L₀. Gli elementi di questo sottogruppo, agendo su un moto dato, conservano l'orientamento del tempo. Le componenti rimanenti costituiscono il
sottoinsieme anticrono Lₐ,
i cui elementi invertono il tempo (simmetria T).
Costruito a partire dal gruppo di Lorentz aggiungendovi le traslazioni spazio-temporali, il gruppo di Poincaré possiede anch'esso quattro componenti connesse.
Lo studio dell'azione del gruppo di Poincaré completo (con le sue quattro componenti) sul suo spazio dei momenti mostra che la simmetria T implica l'inversione del segno dell'energia (riferimento [12], pagina 197, « inversioni di spazio e tempo », relazioni (14.67)).
Kaluza ha dimostrato che dotare un punto materiale relativistico di carica elettrica equivale a inserire il suo moto in uno spazio dotato di una dimensione aggiuntiva, del tipo spazio:
t, x, y, z, z
Un punto di questo « spazio di Kaluza » corrisponde allora al vettore:
Il gruppo dinamico associato a questa geometria è l'estensione centrale del gruppo di Poincaré. Possiamo rappresentare matricialmente l'azione di questo gruppo sullo spazio di Kaluza secondo:
L, matrice (4,4)
è l'elemento del gruppo di Lorentz, di dimensione sei.
C è il quadrivettore corrispondente a una traslazione spazio-temporale:
f è uno scalare. Questa estensione centrale del gruppo di Poincaré ha dimensione 11. È anche per definizione il numero delle componenti del momento. Così il fatto di inserire il moto del punto materiale relativistico in uno spazio dotato di una dimensione aggiuntiva, la dimensione di Kaluza, conferisce al momento una componente aggiuntiva, scalare:
la carica elettrica q
L'azione di questo gruppo sul suo spazio dei momenti comporta l'introduzione di una relazione aggiuntiva che traduce la conservazione della carica elettrica:
q' = q
Per far emergere una simmetria C, è necessario passare a un gruppo che possiede otto componenti connesse, il cui elemento si scriverà:
Studiando l'azione del gruppo sul suo momento, l'azione sulla carica elettrica diventa:
Ritroviamo (riferimento [13] Geometria e Relatività p.413) l'identità tra coniugazione di carica e inversione della dimensione di Kaluza. Abbiamo quindi davanti a noi la chiara traduzione geometrica della simmetria C.
Come abbiamo detto, il gruppo di Poincaré:
contiene elementi che realizzano le simmetrie P, T e PT. Consideriamo il sottoinsieme L₀, ortocrono, del gruppo di Lorentz.
che è un modo comodo per rappresentare l'elemento del gruppo di Lorentz separando gli elementi del sottogruppo ortocrono (m = +1) e gli elementi del sottoinsieme anticrono (m = -1). Possiamo riscrivere l'elemento del gruppo di Poincaré secondo:
Le componenti anticrone del gruppo di Poincaré, o della sua estensione centrale, implicano l'esistenza di movimenti di particelle dotate di energia negativa. Il loro incontro con particelle di energia positiva si tradurrebbe in un'annichilazione completa.
L'universo come lo concepiamo è composto da particelle di massa non nulla e da particelle di massa nulla, i fotoni (senza pregiudizio sulla nullità o meno della massa dei neutrini). Tutte queste particelle non sono altro che movimenti particolari del punto materiale relativistico.
Se accettiamo di far agire l'insieme delle componenti del gruppo, ciò suggerisce l'esistenza:
di particelle di massa non nulla, con energia negativa
di fotoni con energia negativa
Dal punto di vista della fisica sembra difficile immaginare una convivenza tra oggetti di energia positiva e i loro simmetrici T, di energia negativa. Da qui l'idea che ci è venuta, di considerare uno spazio dei movimenti non connesso.
Come Sakharov, prenderemo come base un universo composto da due fogli CPT simmetrici rispetto a una
Possiamo tradurre questa idea in termini di gruppo introducendo un indice di foglio f = ±1
Consideriamo il seguente gruppo e la sua azione su uno spazio pentadimensionale non connesso.
In questa costruzione, la simmetria CPT (inversione di z e di x) va di pari passo con l'inversione dell'indice di foglio (f → -f).
Il calcolo dell'azione coadiacente porta a:
P è il quadrivettore impulso-energia.
Se lo spazio dei movimenti corrispondente a f = 1 contiene particelle di energia positiva, l'elemento del gruppo corrispondente a m = -1 inverte la coordinata f (cambio di foglio), l'energia E, l'impulso p, la carica elettrica q e comporta una simmetria CPT.
La dualità materia-antimateria (simmetria C) è presente in ciascuno dei due fogli.
Abbiamo quindi una descrizione geometrica del modello inizialmente proposto da Andrej Sakharov.
Possiamo ora cercare di fornire ulteriori precisazioni sull'interfaccia spaziale che collega i due fogli (f = +1 e f = -1). Una delle dimensioni deve scomparire.
Nel nostro universo troviamo movimenti che si deducono l'uno dall'altro tramite simmetria P. Esempio: due fotoni della stessa energia ma con elicità opposta (fenomeno di polarizzazione della luce).
La simmetria C è anch'essa presente nel nostro universo (presenza accertata di antimateria, sia nei raggi cosmici che nei collisionatori).
Ma nessun esperimento o osservazione ha permesso di mettere in evidenza l'esistenza di particelle di energia negativa.
L'energia è uno scalare legato all'invarianza per traslazione...