Premessa all'articolo pubblicato nel 1994 sulla rivista Nuovo Cimento
Il punto di partenza di questo lavoro risale al 1977. Due note ai Comptes rendus de l'Académie des Sciences di Parigi:
J.P. Petit: "Universi enantiomorfi con frecce temporali opposte", CRAS del 8 maggio 1977, t. 285, pp. 1217-1221
J.P. Petit: "Universi in interazione con la loro immagine nello specchio del tempo", CRAS del 6 giugno 1977, t. 284, serie A, pp. 1413-1416
Nel lavoro che segue avevamo cercato di stabilire un legame punto per punto (applicazione involutiva) tra i punti del vicinato terrestre (a scala cosmologica) e i punti coniugati del secondo universo (che chiamiamo universo gemello: twin universe, o universo-ombra: shadow universe, o universo-fantasma: ghost universe, denominazioni che nel nostro pensiero sono equivalenti), utilizzando una relazione di antipodalità, che implicava un'ipotesi iniziale sulla topologia dell'oggetto geometrico. Successivamente ci siamo resi conto che ciò non era necessario, poiché si poteva definire la struttura locale (F, F*) come rivestimento a due fogli di una "varietà scheletro". La struttura diventa allora quella del rivestimento a due fogli di un proiettivo P3, equivalente a tre dimensioni del proiettivo P2, a due dimensioni, più noto, quindi la rappresentazione più nota è la superficie scoperta nel 1902 dall'austriaco Werner Boy, vedi figura 184 (in teoria un'animazione, quando il sito sarà completo).
Boy era allievo del grande matematico Hilbert, il quale si dichiarò molto soddisfatto dell'invenzione del suo allievo. Per la cronaca, dopo la sua invenzione, Boy lasciò l'università e non si seppe più nulla di lui. Tutte le ricerche condotte dagli storici per rintracciarne le tracce si rivelarono inutili. Non si sa se morì di un brutto raffreddore o se trascorse gli ultimi anni come idraulico.
I geometri sanno che si può far coincidere tutti i punti di una sfera S2 con un proiettivo P2, come accennato nella figura 10 dell'articolo successivo. Il polo nord viene così portato a coincidere con il polo sud e l'equatore si avvolge su se stesso secondo il pseudo-equatore della superficie di Boy, anch'esso indicato. Questo rivestimento a due fogli è indicato nella figura 11 dell'articolo. Si noti, almeno in due dimensioni, che questa operazione mette in coincidenza oggetti enantiomorfi, speculari. Le figure 12 e 13 sono immagini didattiche che mostrano quindi come i grumi si collocassero nelle lacune della regione antipodale.
Questo sistema del rivestimento a due fogli può essere esteso a tre e persino quattro dimensioni, con sfere S3 e S4, che rivestono rispettivamente i proiettivi P3 e P4.
Prima di procedere oltre, possiamo familiarizzare il lettore con la geometria di questa strana superficie di Boy. Inoltre, si possono trovare diverse declinazioni di questo oggetto nel Topologicon (Ed. Belin, 1984).
Ciò che certamente sorprende il lettore è il fatto che questa superficie si intersechi da sola lungo un insieme di auto-intersezioni che è una curva trifogliata, che ricorda una elica di nave:
In questo disegno, a sinistra, è stata creata un'apertura per mostrare il punto triplo, dove si incrociano tre fogli. Questa superficie sembra davvero particolare. In realtà, questo oggetto è un eccellente esempio che permette di illustrare il concetto di spazio di rappresentazione (3d) menzionato in precedenza.
Il punto triplo T e la curva di auto-intersezione sono dovuti soltanto al modo di rappresentazione del proiettivo P2 in R3. Una sfera, un toro, possono essere immersi in R3, cioè prestarsi a rappresentazioni topologicamente equivalenti in cui la superficie non si interseca da sola. Ma è impossibile immergere il proiettivo P2 in R3. Si può solo immergerlo. Il disegno sopra (la superficie di Boy) è quindi un'immersione del proiettivo in R3. Un'immersione di un oggetto 2D è un modo di rappresentazione in R3 in cui si trova una linea di punti doppi (la curva di auto-intersezione), lungo la quale si trovano due piani tangenti, più un certo numero di punti tripli dove tre fogli si intersecano. La superficie di Boy è soltanto una tra infinite modalità di immergere il proiettivo P2 in R3. Se ne troveranno altre in un articolo che sarà incluso nel sito, intitolato "I diversi volti del piano proiettivo".
È abbastanza facile ottenere immagini della superficie di Boy attraverso una rappresentazione parametrica che abbiamo inventato e pubblicato
---> Il lettore troverà nel sotto-sito MATEMATICA, tra l'altro, la riproduzione della nota pubblicata nel 1981 all'Accademia delle Scienze di Parigi, con J. Souriau (no, non è il famoso matematico, ma uno dei suoi figli, Jérôme, diventato in seguito informatico), la cui citazione è:
"La rappresentazione analitica della superficie di Boy", Note ai Comptes Rendus dell'Accademia delle Scienze di Parigi, tomo 293 (5 ottobre 1981) serie 1, pp. 269-272
Si mostra che la superficie possiede allora meridiani ellittici. Questa proprietà permette di tracciarla facilmente. Di seguito, il programma figurante nella pagina di copertina del mio fumetto Topologicon.
Programma BASIC
10 CLS
50 PI = 3.14159 : P3 = PI/3 : P6 = PI/8 : P8 = PI/8
90 FOR MU = 0 TO PI STEP .1
95 P = P + 1
100 D = 34 + 4.794 * SIN (6*MU -P3)
110 E = 6.732SIN(3MU-P6)
120 A = D + E : B = D - E
130 SA = SIN (P8SIN(3MU))
140 C2 = SQR ( A * A + B * B) : C3 = ( 4 * D * E) / C2
160 CM = COS (MU) : SM = SIN (MU)
180 FOR TE = 0 TO 6.288 STEP .06
190 TC = A * COS (TE) : TS = B * SIN (TE)
200 X1 = C3 + TC - TS
210 Z1 = C2 + TC + TS
250 REM ECCO LE TRE COORDINATE
300 X = X1 * CM - Z1 * SA * SM
310 Y = Y1 * SM + Z1 * SA * CM
350 REM ISTRUZIONE PER STAMPARE I PUNTI
360 PSET (X,Y),1
400 NEXT TE : NEXT MU
Per memoria, fu proprio questa scoperta della possibilità di rappresentare questa superficie utilizzando meridiani ellittici che in seguito permise al matematico Apéry di ottenere la prima rappresentazione in forma implicita, di sesto grado:
f(x, y, z) = 0
che non riprodurremo (è infatti abbastanza complessa e siamo convinti che ne esistano di più semplici, ma questo sarà oggetto di un altro documento che sarà incluso nel sito MATEMATICA).
La bottiglia di Klein è più nota ai lettori. È altrettanto impossibile immergerla in R3. Essa si presenta quindi, nella sua forma più classica, come un'immersione dotata di un insieme di intersezioni che è una semplice curva chiusa.
Il rivestimento a due fogli della superficie di Klein è un toro T2, così come quello della superficie di Boy (proiettivo P2) è una sfera S2. Il lettore interessato alla superficie di Boy potrà trovare una modellina 3D in una delle sale del Palais de la Découverte di Parigi, modellina che avevamo fatto realizzare dal plastico Max Sauze, a partire da un modello più grezzo che avevamo realizzato.
In queste operazioni di rivestimento a due fogli, i meridiani e i paralleli degli oggetti si avvolgono su se stessi. Si può ad esempio mostrare cosa accade ai "paralleli" del toro (legati anche al plongement rappresentato):
In questo plongement del toro, le curve parallele non sono ovviamente geodetiche della superficie (eccetto il "cerchio del collo"). Situazione analoga per i meridiani del toro, che sono geodetiche del suo plongement standard:
Di seguito, i due sovrapposti:
Ritorniamo a tutte queste questioni in un testo dedicato ai rovesciamenti della sfera e del toro, che sarà anch'esso integrato nel sito.
Questa digressione è semplicemente lì per farci comprendere che, nelle illustrazioni che impreziosiscono l'articolo, le linee di auto-intersezione non sono affatto un'immagine didattica di alcuna realtà 3D, se l'universo avesse una tale topologia, ovviamente.
Questo articolo era un primo approccio al confinamento di un oggetto attraverso la sua struttura coniugata, sotto forma di una soluzione analitica, sviluppata nella sezione 4. Vi si trovano inoltre i primi schizzi delle simulazioni numeriche (2D) effettuate da Pierre Midy su Cray-1.