1
Il problema della massa mancante
Jean-Pierre Petit
Osservatorio di Marsiglia, Francia
(Il Nuovo Cimento B Vol. 109 Luglio 1994, pp. 697-710)
Riassunto
Una nuova equazione del campo è proposta, associata a una topologia S3 × R1. Introduciamo una mappa differenziale involutiva A che collega ogni punto dello spazio s alla regione antipodale A(s). Secondo questa equazione, la geometria della varietà dipende sia dal tensore energia-impulso T che dal tensore antipodale A(T). Considerando una metrica indipendente dal tempo, campi deboli e velocità deboli, deriviamo l'equazione di Poisson associata, che fornisce strutture a grappolo che interagiscono con strutture antipodali a alone. La seconda struttura aiuta al confinamento della prima. Si suggerisce che questo modello potrebbe spiegare l'effetto della massa mancante e la struttura su larga scala dell'universo.
- Introduzione
L'equilibrio di una galassia viene studiato utilizzando un certo insieme di equazioni non relativistiche, come l'equazione di Vlasov accoppiata all'equazione di Poisson, che deriva dall'equazione generale del campo di Einstein
(1)
S = c T
più un'ipotesi di stato stazionario in cui si considerano campi deboli e velocità deboli. È ben noto che il campo gravitazionale dovuto alla massa visibile della nostra galassia non può bilanciare le forze centrifughe e di pressione. Alcuni suppongono che una certa massa invisibile, la materia oscura, potrebbe contribuire al campo e bilanciare la forza centrifuga. Nel seguito proponiamo un altro modello, basato su una nuova equazione del campo.
- Una nuova equazione del campo
Supponiamo che l'universo abbia la topologia di S3 × R1.
Le coordinate gaussiane sono
(2)
x = (x°, s)
dove x° è un indicatore temporale e il vettore s rappresenta gli indicatori spaziali. Lo spazio-tempo è orientato. È possibile definire una mappa differenziale involutiva che collega un punto dato s al punto antipodale s*.
(3)
s* = A(s)
Consideriamo due campi tensoriali S e T definiti sulla varietà. Supponiamo che siano collegati dall'equazione del campo seguente
(4)
S = c (T - A(T))
con
(5)
A(T) = T* = T(x°, s*)
Supponiamo che la luce segua le geodetiche dello spazio-tempo.
g è il tensore metrico.
R è il tensore di Ricci, in modo che
(6)
g* = g(x°, s*)
R* = R(x°, s*)
Possiamo scrivere l'equazione del campo nella forma più esplicita
(7)
Scriviamo i tensori T e T* come segue
(8)
(9)
con
r* = r(x°, s*)
p* = p(x°, s*)
Se imponiamo la condizione di divergenza nulla, il fluido obbedisce alle seguenti equazioni di conservazione
(10)
- Condizioni indipendenti dal tempo con campi deboli e velocità piccole. L'equazione di Poisson.
Possiamo applicare il metodo classico, prendendo una metrica quasi-loranziana
(11)
g = h + ε g
dove h è la metrica lorentziana e ε è un piccolo parametro.
In notazione tridimensionale
(12)
La legge di Newton si applica a tutto lo spazio. Inoltre, il potenziale gravitazionale è definito come segue:
(13)
Inversamente, dato il potenziale gravitazionale Y, il movimento di una particella seguirà una geodetica quadridimensionale se i termini goo del tensore metrico hanno la forma
(14)
otteniamo
(15)
Per identificazione, otteniamo l'equazione di Poisson seguente
(16)
ΔY = 4πG (ρ - ρ*)
Se consideriamo un sistema con simmetria sferica
(17)
dove
(18)
ρ* = ρ(s*)
Dalla (17)
(19)
Y* = -Y