MODELLO COSMOLOGICO A VELOCITÀ DELLA LUCE VARIABILE:
INTERPRETAZIONE DEGLI SPOSTAMENTI ROSSI.
Jean-Pierre PETIT.
Osservatorio di Marsiglia
Physics Letters A, Vol.3, n° 18, dic. 1988, p.1733
RISUMO:
c
Il modello a velocità della luce variabile c, costante gravitazionale G, costante di Planck h, presentato nella referenza [1], viene esteso all'elettromagnetismo. L'entropia risulta proporzionale a Log t e, in una rappresentazione spazio-entropia, la metrica è conforme a una metrica piatta. Viene proposta una nuova relazione di gauge, fondata su considerazioni geometriche, corrispondente a una costante di Rydberg che varia come R. La legge di Hubble rimane valida. L'età dell'universo rimane invariata mentre il suo raggio risulta essere la metà del valore di Mattig. Il decodificamento completo dello spostamento rosso diventa possibile. Le distanze delle sorgenti sono molto simili. Le densità volumetriche di potenza dei quasar lontani potrebbero essere state molto sovrastimate, mentre l'aumento della loro magnitudine assoluta, come ottenuto dalla teoria classica, potrebbe essere dovuto alla variazione secolare di c. Supponendo che il rapporto massa elettrone-protone vari come R, si ottiene una costante di struttura fine a, un raggio di Bohr e un rapporto forza elettromagnetica su forza gravitazionale che si comportano come costanti assolute.
1 - INTRODUZIONE
Diversi autori hanno cercato di sviluppare modelli con costanti fisiche variabili nel tempo [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]. Nessuno ha messo in discussione la velocità della luce c, considerata sempre come una costante assoluta. Se si vuole preservare la forma delle equazioni di conservazione, la costante di Einstein
c = - 8 p G / c 2 deve essere considerata come una costante assoluta. In queste condizioni, se si vuole mantenere la velocità della luce c come una costante assoluta e una costante gravitazionale G variabile, bisogna aggiungere un termine sorgente all'equazione del campo, vedere la referenza [3]. Così, tutte queste teorie implicano una creazione costante di materia.
In un articolo precedente [1], abbiamo mostrato che una velocità della luce variabile poteva condurre a un modello coerente se sia G che la costante di Planck h seguivano relazioni di gauge appropriate. Così, la creazione costante di materia non era più necessaria. L'estensione della metrica di Robertson-Walker a una configurazione a velocità della luce variabile, introdotta nell'equazione del campo, ha dato un insieme completo di relazioni di gauge. Ricordiamo le caratteristiche principali del modello descritto in [1]:
(1)
(2) m (massa delle particelle) » R
(3) h (costante di Planck) » R 3/2 » t
(4) G (costante gravitazionale) » 1/R
(5) R (lunghezza caratteristica) » t 2/3
(6) V (velocità di una particella libera) » R -1/2 » c
(7) r (densità di massa) » 1/R 2
(8) mc 2 = costante
Ecco una breve digressione sull'entropia.
- TEMPO O ENTROPIA?
La formulazione relativistica della funzione di distribuzione della velocità è:
(9)
dove m è la massa a riposo, T la temperatura, n la densità di numero e K2 una funzione di Bessel.
Se b = (<v 2 > 1/2 / c) << 1, si ottiene la funzione di distribuzione classica di Maxwell-Boltzmann:
(10)
Calcoliamo ora l'entropia per baryone, definita da:
(11)
dove k è la costante di Boltzmann. Abbiamo n » R -3, m » R e R » t 2/3, T = costante (vedere la referenza [1]), tali che:
(12)
Allora:
(13) s = k Log t + H(b)
Nel modello, b è invariante di gauge, quindi s » Log t.
Nella cosmologia classica, l'universo è isentropico. Si potrebbe considerare un po' paradossale che un tale enorme cambiamento nel tempo sia accompagnato da una variazione di entropia quasi nulla. Nel nuovo modello, l'entropia cresce con il tempo. Notiamo che la singolarità del BIG BANG corrisponde a s = - ¥.
Definiamo ora l'entropia come:
(14) s = 3/2 k Log t
Ritorniamo alla metrica di Robertson-Walker
(15)
Ottieniamo:
(16)
Nella rappresentazione {entropia, variabili spaziali}, la metrica è conforme a una metrica piatta. Dal punto di vista cosmologico, l'entropia (che, d'altra parte, è invariante per trasformazione di Lorentz) potrebbe essere una scelta migliore rispetto al tempo.
Inoltre, se descriviamo l'universo in uno spazio delle fasi (posizione più velocità), troviamo che l'iper-volume caratteristico associato R 3 c 3 varia come t.
- LO SPOSTAMENTO ROSSO E LA METRICA DI ROBERTSON-WALKER:
Consideriamo un oggetto emittente, diciamo una nebulosa N1, che può essere considerato una particola. Supponiamo che la sua luce venga osservata su una nebulosa N2 posta nell'origine delle coordinate comobile. La nebulosa N1 è caratterizzata dal valore del suo indicatore di distanza indipendente dal tempo z, definito dalla relazione:
(17)
La luce emessa all'istante t1 viene osservata su N2 all'istante t2 con t2 > t1.
La distanza tra N1 e N2 è R(t) dz e dipende dal tempo, ma dz non lo è. La luce si propaga su una geodetica nulla:
(18)
ds 2 = (dx°) 2 - R 2 dz 2 = 0
Consideriamo la luce emessa da N1 a un valore corrispondente x°1 + Dx°1 del parametro cronologico. Essa verrà ricevuta a x°2 + Dx°2, dove sarà determinata dalla relazione:
(19)
Consideriamo Dx°1 come l'equivalente del periodo di un fenomeno fisico, ad esempio l'emissione di radiazione su N1, e Dx° come breve rispetto all'equivalente del tempo di percorrenza di N1 a N2 (in termini di parametro cronologico x°). Il fenomeno periodico apparirà, visto da N2, come avere una "periodo" Dx°2, tale che, secondo la relazione sopra, l'aumento dell'integrale q sarà nullo. Questo, con un calcolo elementare, dà:
(20)
Introduciamo ora il tempo cosmologico t definito precedentemente da dx° = c dt e notiamo R(x°1) = R1, R(x°2) = R2, c(x°2) = c2, c(x°1) = c1, otteniamo:
(21)
- IL PROBLEMA DELL'ELETTROMAGNETISMO:
Non possiamo più affermare che l'energia Ei(t1), emessa dall'atomo all'istante t1, sia uguale all'energia di emissione corrispondente Ei(t2) di un atomo simile all'istante t2, nelle condizioni di laboratorio. L'emissione di luce è un fenomeno elettromagnetico. Tutti sanno che la descrizione classica del campo, applicata a uno spazio-tempo quadridimensionale, non prende in considerazione il fenomeno elettromagnetico. Per ottenere una descrizione completa dell'universo, gravità ed elettromagnetismo dovrebbero essere integrati in un framework geometrico comune. Purtroppo, ciò non è stato ancora fatto in modo soddisfacente, quindi il nostro lavoro perde un po' della sua coerenza. Supponiamo, ad esempio, che la costante di Rydberg (energia di ionizzazione dell'idrogeno) obbedisca semplicemente alla seguente relazione di gauge ipotetica:
(22)
E i » R g
(Notiamo che questa è un'ipotesi totalmente arbitraria). Esploriamo le conseguenze di questa ipotesi sul decodificamento dello spostamento rosso. In seguito, tenteremo di collegarla a possibili relazioni di gauge.
- IL FENOMENO DELLO SPOSTAMENTO ROSSO:
Nella descrizione classica, lo spostamento rosso z è dovuto all'effetto Doppler, più un effetto aggiuntivo della relatività ristretta. L'indice 1 si riferisce all'emittente e l'indice 2 al ricevitore. Per una data riga spettrale, chiamiamo E1 = h1 n1o l'energia di emissione e E2 = h2 n2o l'energia di emissione corrispondente nelle condizioni attuali del laboratorio, per la stessa riga. La luce è emessa da un atomo a riposo alla frequenza n1 = n1o, corrispondente alla lunghezza d'onda l1 = c1 / n1 = l1O. n2 sarà la frequenza di ricezione misurata, con l2 = c2 / n2 e l2o = c2 / n2o. L'energia di qualsiasi processo radiativo seguirà la legge generale di gauge supposta (22).
Possiamo definire lo spostamento rosso z:
- Come rapporto tra le lunghezze d'onda:
(23)
(24)
(a)
(b)
(c)
otteniamo:
(25)
Notiamo che, per g = 1, ritroviamo il modello classico.
- Come rapporto tra le frequenze:
(26)
otteniamo lo stesso risultato.
- Come rapporto tra le energie.
(27)
stessa cosa. La relazione classica suggerisce la scelta g = 1.
- LA LEGGE DI HUBBLE E LA METRICA DI ROBERTSON-WALKER:
Sviluppiamo la funzione 1/R(t) in serie rispetto a
(28)
otteniamo:
(29)
In R'2 e R"2, la virgola indica la derivazione rispetto a t.
In particolare, al primo ordine:
(30)
Successivamente, sviluppiamo le seguenti espressioni:
(31a)
(b)
(c)
Riferendoci all'ordine uno:
(32)
Come prima approssimazione, l'astronomo misura d2 @ R2 z, quindi:
(33)
Questo non è altro che la legge dello spostamento rosso di Hubble, che rimane valida in questo contesto a velocità della luce variabile. Dalla misura di d2, c2 e z, possiamo dedurre la costante detta di Hubble, cioè l'età dell'universo.
Prendiamo R = 3/2 c t (vedere la referenza [1]).
(34)
L'età dell'universo corrisponde a:
(35)
Un valore g = 1 dà il valore del modello standard.
- LO SPOSTAMENTO ROSSO E LA VALUTAZIONE DELLA DISTANZA:
Ritorniamo alla metrica di Robertson-Walker, che fornisce:
(36)
Nell'approccio classico, prendiamo il modello di Einstein-de Sitter (k = 0). Otteniamo:
(37a)
Con R = a t 2/3, abbiamo:
(b)
da cui
(38)
Se z è piccolo: d2 » 3/2 ct2 z
se z tende all'infinito: d2 tende a 3 c t2
Ovviamente, la formula di Mattig dà lo stesso risultato:
(39a)
(b)
(c)
Ritorniamo alla metrica di Robertson-Walker, seguendo il nostro modello, con k = -1:
(d)
scriviamo:
(e)
(f)
Sia:
(g)
Allora:
(h)
Per i percorsi radiali:
(i)
(j)
Log (1 + z) = Arg th u
(k)
(l)
Quando z tende all'infinito, ritroviamo l'orizzonte (3/2)c2 t2, che è due volte più piccolo del valore standard 3 c2 t2.
Notate che questo è completamente simile alla legge che dà v r /c (dove v r è la velocità radiale) in funzione di z, nel modello standard.
Confrontiamo le distanze, come sono date dal nostro modello e dal modello standard.
(40)
Sono simili per valori piccoli di z.
- IL PROBLEMA DEI QUASAR:
I quasar corrispondono attualmente a valori di z che vanno da 0,13 a 4. I diametri dei quasar sono stimati in base alla loro periodicità di variazione T. Otteniamo un diametro massimo c T.
Rispetto all'approccio standard, questo modello dà valori più grandi, poiché c era maggiore in epoche precedenti.
La potenza volumetrica è riferita alle dimensioni delle galassie. Chiamiamo P QSO la potenza assoluta emessa da un quasar e P G la potenza assoluta emessa da una galassia. La densità di potenza relativa del QSO, rispetto a una galassia, è:
(41)
Ma nel nostro modello, le galassie non sono più costanti in dimensione. Crescono nel tempo. Supponiamo che il quasar sia integrato in una galassia. La dimensione di questa galassia crescerà come (1 + z). Così, il nostro fattore correttivo, rispetto ai valori standard per la densità di potenza, comporterà tre effetti:
-
Cambiamento di distanza (sono un po' più vicine).
-
Cambiamento di diametro (dovuto alla variazione di c).
-
Cambiamento di dimensione della galassia.
Dato P QSO e P G, il coefficiente (57) diventa p' = p x con:
(42)
cioè:
(43)
z h x 0 1 1
0,13
1,025
0,606
Il quasar più vicino
0,2
1,03
0,467
0,5
1,048
0,177
1
1,024
0,0463
1,5
0,985
0,0157
2
0,946
0,0063
2,5
0,912
0,00296
3
0,882
0,00152
3,5
0,856
0,000842
4
0,834
0,0005
Il quasar più lontano
5
0,8
0,000201
6
0,771
0,0001
7
0,75
0,0000485
8
0,731
0,0000275
9
0,71
0,0000162
10
0,7
0,0000102
Vediamo che questa correzione riduce la magnitudine assoluta del quasar osservato, e questa correzione aumenta con z. Così, se questo modello fosse buono, il modello classico avrebbe grandemente sovrastimato la densità volumetrica di potenza dei quasar. Inoltre, l'aumento osservato della magnitudine assoluta dei quasar potrebbe essere dovuto al cambiamento secolare di c.
Classicamente, l'estensione delle galassie è legata alla lunghezza di Jeans, ma il modello non fornisce alcuna informazione disponibile sulle dimensioni degli oggetti emittenti come stelle o quasar. Questo dipende dal processo di emissione di energia. Poiché non abbiamo definito una relazione di gauge possibile per i coefficienti di fusione, non abbiamo ancora un modello disponibile. In ogni caso, i quasar potrebbero crescere nel tempo, come le galassie, e le osservazioni tendono a sostenere questa ipotesi, che sarà esaminata in modo più dettagliato nell'articolo successivo dedicato all'interazione dettagliata del modello con le osservazioni disponibili.
- RELAZIONI DI GAUGE ASSOCIATE.
L'energia di ionizzazione dell'idrogeno obbedisce a: E i = 1/2 a 2 m e c 2, dove a è la costante di struttura fine e m e la massa dell'elettrone. Abbiamo supposto che E i » R g con g = 1, per adattarci al modello classico, vedere (25), (33) e (35). Introduciamo il rapporto massa elettrone-protone d = m e /m p. Secondo l'articolo precedente [1], m p » m n » m » R. Così, mc 2 è una costante assoluta. Allora:
(44)
La costante di struttura fine a e il rapporto massa elettrone-protone d non possono essere mantenuti costanti insieme. Considereremo due possibilità:
9.1) Prendiamo d » costante. Allora:
(45)
Introducendo le relazioni di gauge per h e c, otteniamo e 2 / e o » R 3/2 e la forza elettromagnetica F em = e 2 /4 p e o R 2 » R -1/2.
Allora:
(46)
che è simile a un'antica idea di Dirac [4, 5].
Calcoliamo ora il raggio di Bohr:
(47)
9.2) Ora, prendiamo a » costante assoluta. Allora m e » R 2, e e 2 / e o » R. La lunghezza di Compton dell'elettrone h/m e c, il rapporto tra la forza gravitazionale e la forza elettromagnetica e il raggio di Bohr diventano costanti assolute.
Nelle referenze [10] a [13], diversi autori studiano la possibile variabilità di diverse grandezze: a, a 2 (g p/g e)(m e/m p), m e/m p, dove g p e g e sono i rapporti giro-magnetici del protone e dell'elettrone. Secondo B.E.G. PAGEL [13], abbiamo:
Effetto
Grandezza Limite superiore approssimativa di 3 s di variazione.
Allontanamento dei doppietti ottici.
a
3 %
Confronto degli spostamenti rossi ottici e 21 cm.
a 2 (g p/g e)(m e/m p) 10 -3
Confronto degli spostamenti rossi dell'idrogeno e dei metalli.
d = m e/m p
50 %
Di conseguenza, scegliamo la seconda possibilità, con un rapporto di massa variabile. Notate che in entrambi i casi, otteniamo g p/g e » 1/R.
- CONCLUSIONE
Qui, abbiamo cercato di estendere il modello introdotto nella referenza [1] all'elettromagnetismo. Una legge di gauge è stata suggerita: abbiamo supposto che l'energia di ionizzazione E i (costante di Rydberg) vari come R g. Considerazioni geometriche locali raccomandano il valore g = 1, che tiene conto del processo di disionizzazione durante l'evoluzione cosmica. La distanza di una sorgente radiativa, come dedotta dalla metrica di Robertson-Walker, dà risultati abbastanza simili ai valori del modello standard, ma questo nuovo modello tende a ridurre notevolmente la densità di potenza stimata delle sorgenti distanti come i quasar. Inoltre, l'aumento della magnitudine assoluta in z, come dedotto dal modello classico, potrebbe essere dovuto alla variazione secolare di c.
Con un rapporto di massa elettrone-protone d = m e/m p che varia come R, otteniamo una costante di struttura fine a che si comporta come una costante assoluta.
BIBLIOGRAFIA:
[1]
J.P.PETIT : Un'interpretazione del modello cosmologico a velocità della luce variabile. Modern Physics Letters A......
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P.A. DIRAC : 1937, Nature, 139, 323 [5]
P.A. DIRAC : 1973 Proc. Roy. Soc. London, A333, 4O3
[6]
V.CANUTO & J.LODENQUAI : Cosmologia di Dirac, Ap.J. 211 : 342-356 1977 15 gennaio.
[7]
T.C.VAN FLANDERN : La costante gravitazionale cambia? Ap.J, 248 : 813-816
[8]
A.JULG. L'ipotesi dei grandi numeri di Dirac e la creazione continua. Ap.J. 271 : 9-1O 1983 1° agosto
[9]
V.CANUTO & S.H. HSIEH : Il radiazione del corpo nero a 3 K, l'ipotesi dei grandi numeri di Dirac, e la cosmologia covariante su scala. Ap.J., 224 : 3O2-307, 1978 1° settembre
[10]
B.E.J.PAGEL : Sulle limiti della variabilità passata del rapporto massa protone-elettrone imposte dagli spostamenti rossi delle linee di assorbimento dei quasar. Mon. Not. astr. Soc. (1977), comunicazione breve, 81P-85P.
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A.M.WOLFE & R.L.BROWN & M.S.ROBERTS. Limiti alla variazione delle grandezze atomiche fondamentali su scale temporali cosmiche. Physical Review Letters Vol 37, numero 4, 26 luglio 1976.
[12]
A.D.TUBBS & A.M.WOLFE : Prove di uniformità su larga scala delle leggi fisiche. A.P.J, 236 : L1O5-1O8, 198O 15 marzo
[13]
B.E.J.PAGEL. Implicazioni della spettroscopia dei quasar per la costanza delle costanti. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 3 31O, 245-247 , 1983.
Non possiamo più affermare che l'energia Ei(t1), emessa dall'atomo all'istante t1, sia identica all'energia di emissione corrispondente Ei(t2) di un atomo simile all'istante t2, nelle condizioni di laboratorio. L'emissione di luce è un fenomeno elettromagnetico. Tutti sanno che la descrizione classica del campo, applicata a uno spazio-tempo quadridimensionale, non tiene conto del fenomeno elettromagnetico. Per ottenere una descrizione completa dell'universo, gravità ed elettromagnetismo dovrebbero essere integrati in un framework geometrico comune. Purtroppo, ciò non è stato ancora fatto in modo soddisfacente, quindi il nostro lavoro perde un po' della sua coerenza. Supponiamo, ad esempio, che la costante di Rydberg (energia di ionizzazione dell'idrogeno) obbedisca semplicemente alla seguente relazione di gauge ipotetica:
(22)
E i » R g
(Notiamo che si tratta di un'ipotesi completamente arbitraria). Esploriamo le conseguenze di questa ipotesi sul decodificare lo spostamento verso il rosso. Più tardi cercheremo di collegarla a relazioni di gauge possibili.
- IL FENOMENO DELLO SPOSTAMENTO VERSO IL ROSSO:
Nella descrizione classica, lo spostamento verso il rosso z è dovuto all'effetto Doppler, più un effetto aggiuntivo della relatività ristretta. L'indice 1 si riferisce all'emittente e l'indice 2 al ricevitore. Per una data riga spettrale, chiamiamo E1 = h1 n1o l'energia di emissione e E2 = h2 n2o l'energia di emissione corrispondente nelle condizioni attuali del laboratorio, per la stessa riga. La luce è emessa da un atomo a riposo alla frequenza n1 = n1o, corrispondente alla lunghezza d'onda l1 = c1 / n1 = l1O. n2 sarà la frequenza di ricezione misurata, con l2 = c2 / n2 e l2o = c2 / n2o. L'energia di qualsiasi processo radiativo seguirà la legge generale di gauge supposta (22).
Possiamo definire lo spostamento verso il rosso z:
- Come il rapporto tra le lunghezze d'onda:
(23)
(24)
(a)
(b)
(c)
otteniamo:
(25)
Notiamo che, per g = 1, ritroviamo il modello classico.
- Come il rapporto tra le frequenze:
(26)
otteniamo lo stesso risultato.
- Come il rapporto tra le energie.
(27)
stessa cosa. La relazione classica suggerisce la scelta g = 1.
- LA LEGGE DI HUBBLE E LA METRICA DI ROBERTSON-WALKER:
Sviluppiamo la funzione 1/R(t) in serie rispetto a
(28)
otteniamo:
(29)
In R'2 e R"2, la virgola indica la derivazione rispetto a t.
In particolare, al primo ordine:
(30)
Successivamente, sviluppiamo le seguenti espressioni:
(31a)
(b)
(c)
Riferendoci al primo ordine:
(32)
Come prima approssimazione, l'astronomo misura d2 @ R2 z, in modo che:
(33)
Questo non è altro che la legge dello spostamento verso il rosso di Hubble, che rimane valida in questo contesto con velocità della luce variabile. Dalla misura di d2, c2 e z, possiamo dedurre la costante detta di Hubble, cioè l'età dell'universo.
Prendiamo R = 3/2 c t (vedi riferimento [1]).
(34)
L'età dell'universo corrisponde a:
(35)
Un valore g = 1 dà il valore del modello standard.
- LO SPOSTAMENTO VERSO IL ROSSO E LA VALUTAZIONE DELLA DISTANZA:
Torniamo alla metrica di Robertson-Walker, che fornisce:
(36)
Nell'approccio classico, prendiamo il modello di Einstein-de Sitter (k = 0). Otteniamo:
(37a)
Con R = a t 2/3, abbiamo:
(b)
da cui
(38)
Se z è piccolo: d2 » 3/2 ct2 z
se z tende all'infinito: d2 tende a 3 c t2
Ovviamente, la formula di Mattig dà lo stesso risultato:
(39a)
(b)
(c)
Torniamo alla metrica di Robertson-Walker, seguendo il nostro modello, con k = -1:
(d)
scriviamo:
(e)
(f)
Sia:
(g)
Allora:
(h)
Per i percorsi radiali:
(i)
(j)
Log (1 + z) = Arg th u
(k)
(l)
Quando z tende all'infinito, ritroviamo l'orizzonte (3/2)c2 t2, che è due volte più piccolo del valore standard 3 c2 t2.
Notate che questo è completamente simile alla legge che dà v r /c (dove v r è la velocità radiale) in funzione di z, nel modello standard.
Confrontiamo le distanze, come sono date dal nostro modello e dal modello standard.
(40)
Sono simili per valori piccoli di z.
- IL PROBLEMA DEI QUASAR:
I quasar corrispondono attualmente a valori di z che vanno da 0,13 a 4. I diametri dei quasar sono stimati in base al loro periodo di variazione T. Otteniamo un diametro massimo c T.
Rispetto all'approccio standard, questo modello dà valori più grandi, poiché c era maggiore in un periodo precedente.
La potenza volumetrica è riferita alle dimensioni delle galassie. Chiamiamo P QSO la potenza assoluta emessa da un quasar e P G la potenza assoluta emessa da una galassia. La densità di potenza relativa del QSO, rispetto a una galassia, è:
(41)
Ma nel nostro modello le galassie non sono più costanti in dimensione. Crescono nel tempo. Supponiamo che il quasar sia incluso in una galassia. La dimensione di questa galassia crescerà come (1 + z). Così, il nostro fattore correttivo, rispetto ai valori standard per la densità di potenza, comporterà tre effetti:
-
Cambiamento di distanza (sono un po' più vicine).
-
Cambiamento di diametro (dovuto alla variazione di c).
-
Cambiamento di dimensione della galassia.
Dato P QSO e P G, il coefficiente (57) diventa p' = p x con:
(42)
cioè:
(43)
z h x 0 1 1
0,13
1,025
0,606
Il quasar più vicino
0,2
1,03
0,467
0,5
1,048
0,177
1
1,024
0,0463
1,5
0,985
0,0157
2
0,946
0,0063
2,5
0,912
0,00296
3
0,882
0,00152
3,5
0,856
0,000842
4
0,834
0,0005
Il quasar più lontano
5
0,8
0,000201
6
0,771
0,0001
7
0,75
0,0000485
8
0,731
0,0000275
9
0,71
0,0000162
10
0,7
0,0000102
Vediamo che questa correzione riduce la magnitudine assoluta del quasar osservato, e questa correzione aumenta con z. Quindi, se questo modello fosse buono, il modello classico avrebbe enormemente sovrastimato la densità volumetrica di potenza dei quasar. Inoltre, l'aumento osservato della magnitudine assoluta dei quasar potrebbe essere dovuto al cambiamento secolare di c.
Classicamente, l'estensione delle galassie è legata alla lunghezza di Jeans, ma il modello non fornisce alcuna informazione disponibile sulle dimensioni degli oggetti emittenti come stelle o quasar. Dipende dal processo di emissione di energia. Poiché non abbiamo definito una relazione di gauge possibile per i coefficienti di fusione, non abbiamo ancora un modello disponibile. In ogni caso, i quasar potrebbero crescere nel tempo, come le galassie, e le osservazioni tendono a sostenere questa ipotesi, che sarà esaminata in modo più dettagliato nell'articolo successivo dedicato all'interazione dettagliata del modello con le osservazioni disponibili.
- RELAZIONI DI GAUSS ASSOCIATE.
L'energia di ionizzazione dell'idrogeno obbedisce a: E i = 1/2 a 2 m e c 2, dove a è la costante di struttura fine e m e è la massa dell'elettrone. Abbiamo supposto che E i » R g con g = 1, per adattarci al modello classico, vedere (25), (33) e (35). Introduciamo il rapporto massa elettrone-protone d = m e /m p. Secondo l'articolo precedente [1], m p » m n » m » R. Così, mc 2 è una costante assoluta. Allora:
(44)
La costante di struttura fine a e il rapporto massa elettrone-protone d non possono rimanere costanti insieme. Considereremo due possibilità:
9.1) Prendiamo d » costante. Allora:
(45)
Introducendo le relazioni di gauge per h e c, otteniamo e 2 / e o » R 3/2 e la forza elettromagnetica F em = e 2 /4 p e o R 2 » R -1/2.
Allora:
(46)
che è simile a un'antica idea di Dirac [4, 5].
Calcoliamo ora il raggio di Bohr:
(47)
9.2) Ora prendiamo a » costante assoluta. Allora m e » R 2, e e 2 / e o » R. La lunghezza
Versione originale (inglese)
COSMOLOGICAL MODEL WITH VARIABLE LIGHT VELOCITY :
THE INTERPRETATION OF RED SHIFTS.
Jean-Pierre PETIT.
Observatoire de Marseille
Modern Physics Letters A, Vol.3 , n° 18, dec. 1988, p.1733
ABSTRACT
:
c
The model with variable c, G, h presented in reference [1] is extended to electromagnetism. The entropy is found to vary like Log t and, in a space-entropy representation, the metric is conformally flat. A new gauge relation is suggested, based on geometrical considerations, which corresponds to a Rydberg constant varying like R. The Hubble's law still applies. The age of the universe is unchanged while its span is found to be half of the Mattig's value. The complete decoding of the red shift can be done. The distances of the sources are very similar. The large volumic power densities of distant quasars could have been greatly overestimated, while the increase of their absolute magnitude, as derived from the classical theory, could be due to the secular variation of c. Assuming the electron-proton mass ratio to vary like R we get a fine structure constant
a
,
a Bohr radius and a ratio electromagnetic force to gravitational force which behave like absolute constants.
1 -
INTRODUCTION
Several authors tried to develop models with physical constants in time varying in time [2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9] . None questionned the light velocity c, always considered an absolute constant. If one wants to save the form of the conservation equations, the Einstein's constant
c
= - 8
p
G / c
2
must be considered as an absolute constant. In such conditions if one wants to keep the light velocity c as an absolute c constant and a variable gravitational constant G, one must add a source term to the field equation, see reference [3] . Thus, all these theories imply a constant creation of matter.
In a previous paper [1] we showed that a variable ligth-velocity could lead to a consistent model if both G and the Planck's constant h followed convenient gauge relations. Thus, the constant creation of matter was no longer necessary. The extension of the Robertson-Walker metric to a variable light velocity configuration and its introduction into the field equation gave a complete set of gauge relations. Let us recall the main features of the model described in [1] :
(1)
(2)
m ( particle's mass )
»
R(3)
h ( Planck'constant )
»
R 3/2
»
t
(4)
G ( Gravity constant )
»
1/R
(5)
R ( Characteristic length )
»
t 2/3
(6)
V ( Velocity of a free particle )
»
R-1/2
»
c
(7)
r ( mass density )
»
1/R 2
(8)
mc
2
= constant
The following is a short digression about entropy.
- TIME OR ENTROPY ?
The relativistic formulation of the velocity distribution function is :
(9)
where m is the rest mass, T the temperature, n the number of density and K2 a Bessel function.
If
b
= (<v
2
1/2
/c) << 1 then we get the classical Maxwell-Boltzmann velocity distribution function :
(10)
Let us compute the entropy per baryon, as defined by :
(11)
where k is the Botzmann's constant. We have n
»
R -3
, m
»
R and R
»
t 2/3
,
T = constant ( see reference [ 1] ) , such as :
(12)
Then :
(13) s = k Log t + H(
b )
In the model
b
is gauge invariant such as s
»
Log t.
In the classical cosmology the universe is isentropic. One could consider somewhat paradoxal that such enormous change in time goes with an almost zero entropy variation. In the new model the entropy grows with time. Notice that the BIG BANG singularity corresponds to s = -
¥
.
Let us define now the entropy through :
(14) s = 3/2 k Log t
Let us return to the Robertson-Walker metric
(15)
We get :
(16)
In the representation { entropy, space variables } the metric is
conformally flat
. From a cosmological point of view, the entropy (which on another hand is invariant with respect to the Lorentz transform ) could be a better choice than time.
In addition, if we describe the universe in a phase space ( position plus velocity ) we find that the associated characteristic hypervolume R
3 c 3
varies like t.
- THE RED SHIFT AND THE ROBERTSON-WALKER METRIC :
Consider a radiating object, say a nebula N1, which could be considered as a particle. Suppose his light is observed on a nebula N2 placed at the origin of the co-moving coordinates. The nebula N1 is characterized by the value of its time-independent distant marker
z
,
defined by the relation :
(17)
The light emited at time t1 is observed on N2 at a time t2 with t2 > t1 .
The distance between N1 and N2 is R(t) d
z
and is time-dependent but
d z
is not. Light travels on a nul geodesic :
(18)
ds 2
= (dx°)
2 - R 2 d z 2 = o
Consider the light emited by N1 at a corresponding value
x°1 +
Dx°1 of the chronological parameter. It will be received at
x°2 +
Dx°2, where it will be determined through the relation :
(19)
Consider
Dx°1 as the equivalent of the period of some physical phenomenon, the emission of radiation for instance, taking place on N1 , and
Dx° to be short compared to the equivalent of the travel time from N1 to N2 ( in term of chronological parameter x° ). The periodic phenomenon will appear, as seen from N2 , to have a "period"
Dx°2 which, from the above relation, will be such that the increment of the q integral will be zero. This, by elementary calculus, gives :
(20)
Let us introduce the cosmic time t as defined before through dx° = c dt and write R (x°1) = R1 , R(x°2) = R2 , c (x°2) = c2 , c (x°1) = c1 , then we get :
(21)
- THE PROBLEM OF ELECTROMAGNETISM :
Now we cannot assert that the energy Ei(t1), emitted by the atom at the time t1 would be identical to the corresponding emission energy Ei(t2) of a similar atom, at time t2, in lab's conditions. The light emission is an electromagnetic process. Everybody knows that the classical field description, applying to a four dimensional space time does not take in charge the electromagnetic phenomenon. To get a complete description of universe gravitation and electromagnetism should be imbedded in a common geometrical framework. Unfortunately it has not been done yet in a satisfactory way so that our work will now loose somewhat its self-consistency. . Suppose, for instance, that the Rydberg constant ( ionization energy of hydrogen ) would simply obey the following hypothetic gauge relationship :
(22)
E i
»
R g
( Notice that this is a totally arbitrary assumption ). Let us explore the consequences of it on the red shift decoding. Later we will try to relate it to possible gauge relations.
- THE RED SHIFT PHENOMENON :
In the classical description the red shift z is due to the Doppler effect, plus some special relativity additional effect. The indix 1 refers to the emitter and the indix 2 to the receiver. For a given specctroscopic line, call E
1 = h 1 n
1o
the emission energy and E
2 = h 2 n
2o
the corresponding emission energy in the today's lab's conditions, for the same line. The light is emitted by an atom at rest at the frequency
n 1 = n
1o,
corresponding to the wavelength
l 1 = c 1 / n 1 = l
1O
.
n 2
will be the mesured reception frequency, with
l 2 = c 2 / n 2
and
l
2o
= c 2 / n
2o
. The energy of any radiative process will follow the general assumed gauge law (22).
We can define the red shift z :
- As the ratio between the wavelengths :
(23)
(24)
(a)
(b)
(c)
then we get :
(25)
Notice that, for
g
= 1 we refind the classical model.
- As the ratio between the frequencies :
(26)
we get the same result.
- As the ratio between the energies.
(27)
same thing. The classical relation suggests the choice
g
= 1 .
- THE HUBBLE'S LAW AND THE ROBERTSON WALKER METRIC :
Let us expand the function 1/R(t) into a series with respect to
(28)
we get :
(29)
In R'
2
and R"
2
the prime denotes differentiation with respect to t.
In particular , at the first order :
(30)
Next, expanding the following expressions :
(31a)
(b)
(c)
Refering to the first order :
(32)
As a first approximation the astronomer measures d
2
@
R 2 z
, such as :
(33)
Which is nothing but the Hubble's red shift law, which still applies in this variable light velocity conditions. From mesurement of d
2
, c
2
and z we can derive the so called Hubble's constant, i.e. the age of universe.
Take R = 3/2 c t ( see reference
[ 1) ).
(34)
The age of universe corresponds to :
(35)
A g
= 1 value gives the standard model value.
- THE RED SHIFT AND THE DISTANCE EVALUATION :
Let us return to the Robertson-Walker metric, which provides :
(36)
In the classical approach, take the Einstein-de Sitter model
( k = o ). We get :
(37a)
With R = a t
2/3
we have :
(b)
whence
(38)
If z is weak : d
2
»
3/2 ct 2 z
if z tends to infinite : d
2
tends to 3 c t
2
Of course the Mattig's formula gives the same result :
(39a)
(b)
(c)
Let us return to the Robertson Walker metric, following our model, with k = - 1 :
(d)
write :
(e)
(f)
Let :
(g)
Then :
(h)
For radial pathes :
(i)
(j)
Log ( 1 + z ) = Arg th u
(k)
(l)
When z tends to infinite we refind the horizon (3/2)c
2 t 2
, which is twice smaller than the standard value 3 c
2 t 2
.
Notice this is completely similar to the law giving v
r
/c ( where is the radial velocity ) as a function of z, ine the standard model.
Let us compare the distances, as given by our model and the standard model.
(40)
They are similar for weak z values.
- THE QUASARS PROBLEM :
Quasars correspond presently to z values from 0.13 to 4 . The diameters of the quasars are estimated from their fluctuation period
T. We get a maximum diameter c
T.
With respect to the standard approach this model gives larger values, for c was larger in the earlier time.
The volumic power is refered to the size of the galaxies. Call P
QSO
the absolute power emited by a quasar and P
Gthe absolute power emited by a galaxy. The relative power density of the QSO, with respect to a galaxy, is :
(41)
But in our model the galaxies are no longer constant in size. They grow in time. Suppose the quasar is imbedded in a galaxy. The size of this galaxy will grow like ( 1+ z ). Such as our correcting term, with respect to the standard values for power density, will involve three effects :
-
Change for the distance ( they are a little bit closer ).
-
Change for the diameter ( due to the variation of c ).
-
Change of the galaxy's size.
Given P
QSO
and P
Gthe coefficient (57) becomes
p
' =
p x
with :
(42)
i.e :
(43)
z h x 0 1 1
0,13
1.025
0,606
The closest quasar
0,2
1.03
0.467
0.5
1.048
0.177
1
1.024
0.0463
1.5
0.985
0.0157
2
0.946
0.0063
2.5
0.912
0.00296
3
0.882
0.00152
3.5
0.856
0.000842
4
0.834
0.0005
The most distant quasar
5
0.8
0.000201
6
0.771
0.0001
7
0.75
0.0000485
8
0.731
0.0000275
9
0.71
0.0000162
10
0.7
0.0000102
We see that this correction reduces the absolute magnitude of the observed quasar, and that this correction increases with z. Thus, would this model would be good, the classical model would have greatly overestimated the volumic power density of quasars. In addition the observed increase of absolute magnitude of quasars could be due to the secular change in c.
Classically the galaxies' span are related to the Jeans' length, but the model does not provide any avaible information about the sizes of some emitting objects like stars or quasars. It depends on the energy emission process. As we have not defined some possible gauge relation for the fusion coefficients we have no avaible model yet. Anyway the quasars could grow in time, like galaxies and the observations tend to support this hypothesis, that will be examined with more details in the next paper devoted to the detailed interaction of the model and avaible observations. .
- ASSOCIATED GAUGE RELATIONS.
The ionization energy of hydrogen obeys : E
i
= 1/2
a 2 m e c 2
, where
a
is the fine structure constant and m
e
the mass of the electron. We have assumed that E
i
»
R g
with
g
= 1, in order to fit with the classical model, see (25), (33) and (35). Introduce the electron-proton mass ratio
d = m e /m p
. According to the first paper
[ 1 ] m p
»
m n
»
m
»
R. So that mc
2
is an absolute constant. Then :
(44)
The fine structure constant
a
and the electron-proton mass ratio
d
cannot be kept constant together. We shall consider two possibilities ;
9.1) Let us take first
d »
constant. Then :
(45)
Introducing the gauge relations for h and c we get : e
2 / e o
»
R 3/2
and the electromagnetic force F
em
=e 2 /4 p e o R 2
»
R-1/2
.
Then :
(46)
which is similar to an old idea of Dirac
[
4, 5
]
.
Let us compute the Bohr radius :
(47)
9.2) Now we take
a
»
absolute constant. Then m
e
»
R 2
. and
e 2 / e o
»
R. The Compton length of the electron h/m
e
c, the ratio gravitational force to the electromagnetic force and the Bohr radius become absolute constants.
In the references [ 10 ]
to
[ 13 ]
several authors study the possible variability of several quantities :
a
,
a 2 ( g p/ g e) (m e /m p)
, m
e /m p
,where g
p
and g e
are the gyromagnetic ratios of the proton and the electron. Following B.E.G. PAGEL
[ 13 ]
, we have :
Effect
Quantity Approximate 3
s
upper
limit to variation.
Optical doublet splitting.
a
3 %
Comparizon of optical and 21 cm redshifts.
a 2 ( g p/ g e) (m e /m p) 10 -3
Comparizon of hydrogen and metal redshifts.
d = m e /m p
50%
As a consequence we choose the second possibility, with a variable mass ratio. Notice that in both cases we get g
p/ g e
»
1/R.
1O) CONCLUSION
Here we tried to extend the model introduced in reference
[ 1 ]
to electromagnetism. A gauge law was suggested : we assumed the ionisation energy E i
( Rydberg constant ) to vary like R
g
. Local geometrical considerations recommand the value
g
= 1 , which takes account of the desonization process during the cosmic evolution. The distance of a radiative source, as derived from the Robertson Walker metric, gives results quite similar to the standard model'values, but this new model tends to reduce considerably the estimated density power of distant sources like quasars. In addition the increase of absolute magnitude in z, as derived from the classical model, could be due to the secular variation in c.
With an electron-proton mass ratio
d = m e /m p
which varies like R we get a fine structure constant
a
which behaves like an absolute constant.
REFERENCES :
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[ 2 ]
E.A. MILNE : Kinematic Relativity Oxford 1948.
[ 3 ]
F.HOYLE & J.V.NARLIKAR : Cosmological models in conformally invariant gravitational theory. Mon. Notices Roy. Astr. Soc. 1972 155 pp 3O5-325.
[ 4 ]
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139,
323 [ 5 ]
P.A. DIRAC : 1973 Proc. Roy. Soc. London ,
A333
, 4O3
[ 6 ]
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211
: 342-356 1977 January 15.
[ 7 ]
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[ 8 ]
A.JULG. Dirac's large numbers hypothesis and continuous creation. Ap.J.
271
: 9-1O 1983 August 1
[ 9 ]
V.CANUTO & S.H. HSIEH : The 3 K blackbody radiation, Dirac's large numbers hypothesis, and scale-covariant cosmology. Ap.J., 224 : 3O2-307, 1978 September 1
[ 10 ]
B.E.J.PAGEL : On the limits to past variability of the proton-electron mass ratio set by quasar absorbtion line redshifts. Mon. Not. astr. Soc. (1977), short communication, 81P-85P.
[ 11 ]
A.M.WOLFE & R.L.BROWN & M.S.ROBERTS. Limits on the variation of fundamental atomic quantities over cosmic time scales. Physical Review Letters Vol 37, number 4, 26 July 1976.
[ 12 ]
A.D.TUBBS & A.M.WOLFE : Evidence for large-scale uniformity of physical laws. A.P.J,
236
: L1O5-1O8, 198O March 15
[ 13 ]
B.E.J.PAGEL. Implication of quasar spectroscopy for constancy of constants. Phil. Trans. R. Soc. Lond. 3 31O, 245-247 , 1983.