Cosmologia degli universi gemelli (p 5)
- Riguardo alla costanza di G e di c.
...
Consideriamo le due grandezze G (gravitazione) e c (velocità della luce). Esse intervengono nella costante di Einstein
c
. Quest'ultima è classicamente determinata come segue:
La metrica si esprime come:
(12)
dove g
mn
(L) è il tensore metrico di Lorentz e
e gmn
rappresenta una piccolissima perturbazione indipendente dal tempo (tensore metrico quasi lorentziano). Inoltre, per stabilire un legame stretto con la teoria classica, si suppone che la velocità di una particella lungo una geodetica sia molto inferiore a c, cioè:
(13)
Si applica quindi la stessa approssimazione all'equazione differenziale di una geodetica:
(14)
Si ottiene quindi:
(15)
Oltre alle condizioni di stato stazionario, si è soliti scrivere:
(16)
dx° = c dt
che introduce sia la velocità della luce c che il tempo t. Inoltre:
(17)
L'equazione geodetica diventa:
(18)
Se si identifica al modello newtoniano, si può collegare il potenziale di perturbazione gravitazionale alla metrica attraverso:
(19)
Se si considera un mezzo a bassa densità
r
o e a bassa velocità, il tensore energia-materia si riduce a:
(20)
la cui traccia è
r o . Allora il secondo membro dell'equazione del campo diventa (21)
Sempre nell'ipotesi di stato stazionario, si ottiene:
(22)
Identificando con l'equazione di Poisson, si determina la costante sconosciuta
c
dell'equazione del campo:
(23)
Se
c
non è considerato una costante assoluta, la divergenza nulla dell'equazione del campo (1) non è più garantita, secondo l'ipotesi
d
= 0, che fornisce le equazioni di conservazione della fisica. Ma facciamo notare che la costanza di
c
non richiede separatamente la costanza di G e di c, poiché abbiamo determinato (23) a partire da una metrica indipendente dal tempo (12). Si può quindi passare alla condizione meno restrittiva:
(24)
...
Questa idea, suggerita dall'autore nel 1988-89 negli articoli [12,13,14]. Ma, a nostra conoscenza, l'idea di una variazione secolare della velocità della luce era stata introdotta in precedenza da V.S. Troistkii [11].
- Metrica di Robertson-Walker.
...
Supponendo che l'Universo sia isotropo e possa essere descritto da una metrica riemanniana, si ottiene la metrica classica di Robertson:
(25)
Se l'Universo è supposto omogeneo, allora
T
= A(
T) e la soluzione cosmologica spazialmente omogenea deriva da:
(26)
S = c ( T
- A(
T)) = 0
Questa metrica deve essere introdotta nell'equazione (1), con un secondo membro nullo. Si ottiene quindi il seguente sistema di due equazioni:
(27)
(28)
Dalle (27) e (28) si ottiene:
(29)
k = - 1 (curvatura negativa) e R = x°
x° è un "marcatore cronologico". Si noti che esiste una sola soluzione (k = -1). Se si identifica classicamente x° a ct, c essendo considerato una costante assoluta, si ottiene la ben nota soluzione banale R = ct. Facendo così, si definisce in modo un po' arbitrario il tempo cosmico t. Ma può essere definito diversamente, in modo non standard, come mostrerà il successivo sviluppo.