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Gruppo delle traslazioni:
...Consideriamo lo spazio 2D (x,y). In questo spazio, una traslazione corrisponde alla coppia di scalari (Δx, Δy) e di solito si scrive:
x' = x + Δx
y' = y + Δy
Si utilizza quindi l'addizione. Si potrebbe riuscire a codificare la traslazione con una... moltiplicazione?
Consideriamo le matrici:
e l'azione del gruppo:
Si osserva che non si tratta più della semplice moltiplicazione matriciale g × r, ma dell'azione del gruppo:
Si può inoltre considerare la traslazione in tre, quattro dimensioni e oltre:
L'azione del gruppo corrispondente è allora:
...Inoltre, il gruppo delle traslazioni è commutativo e l'elemento neutro è "la traslazione nulla". In 3D la dimensione del gruppo è tre, in 4D è quattro.
Interesse dei gruppi matriciali. Esempio: il gruppo euclideo.
...L'interesse di un gruppo matriciale è che si possono gestire simultaneamente diverse cose che fino a quel momento sembravano di natura diversa, ad esempio rotazione e traslazione. Basta allora considerare le matrici:
e far agire la matrice elemento del gruppo sul vettore colonna per constatare che ciò equivale alla combinazione di una rotazione di angolo α e di una traslazione secondo il vettore (Δx, Δy).
...Come si vede, la matrice g non agisce "direttamente" sui punti (x,y) di questo spazio 2D, ma attraverso ciò che si chiama un'azione del gruppo, che obbedisce a certi assiomi.
...Così un gruppo "agisce" e "trasporta", nel caso specifico dei punti. Si tratta del gruppo euclideo. Collegato a uno spazio 2D (x,y), questo gruppo è definito da tre parametri. È g(α, Δx, Δy): la dimensione di questo gruppo è 3. In particolare:
g(0, Δx, Δy) rappresenta il sottogruppo delle traslazioni.
g(α, 0, 0) rappresenta il sottogruppo delle rotazioni intorno all'origine.
g(0, Δx, 0) rappresenta il sottogruppo delle traslazioni parallele a una retta (l'asse OX).
...Il gruppo euclideo trasporta punti che non possiedono in sé attributi (mentre i gruppi della dinamica conferiscono a un semplice "punto materiale" degli "attributi" chiamati massa, energia, momento, spin).
...Con il gruppo euclideo si è costretti a considerare insiemi di punti. Come se, in chimica, gli atomi non fossero distinguibili tra loro e soltanto la geometria degli insiemi molecolari portasse informazioni.
...Una figura geometrica, triangolo (considerato come insieme di tre punti o di tre segmenti), quadrato (considerato come insieme di quattro punti o di quattro segmenti), può essere trasportata dal gruppo. È qui che entra in gioco l'idea fondamentale di "specie". Due "oggetti" si dicono della stessa specie se esiste un elemento del gruppo che permetta di portarli l'uno sull'altro.
Di fronte al gruppo euclideo, i quadrati con lato uguale a formano una specie:
Quadrati della stessa specie.
...Se i lati a e b sono diversi, questi oggetti non sono della stessa specie. Non esiste alcun elemento del gruppo che permetta di passare dall'uno all'altro.
Di fronte al gruppo euclideo, questi quadrati non formano la stessa specie.
Euclide non permette le omotetie. Per poterle gestire, bisognerebbe passare a un altro gruppo, quello di Cartesio:
gruppo a quattro parametri
g(λ, α, Δx, Δy),
λ essendo un coefficiente di omotetia. La dimensione di questo gruppo è quindi 4.
Da qui si immagina facilmente che possa esistere un gruppo euclideo che agisce su oggetti in tre dimensioni.
...Non si tratta di lanciarsi in un corso completo sui gruppi, ma di cogliere alcune idee. Che cos'è la zoologia? Una scienza che consiste nello studiare gli animali e classificarli. Se ci si limita alla forma, il gruppo euclideo permette di classificare i conigli adulti. Per poter classificare in una stessa specie conigli di dimensioni diverse, bisognerà ricorrere al gruppo di Cartesio, poiché non esiste alcun elemento del gruppo euclideo (3D) che permetta di passare da un coniglio piccolo a un coniglio grande.
...Sorridi? Ti sbagli. Forse nel tuo appartamento o casa hai un bambino in fase di apprendimento che gioca in un angolo. Gli hai dato un giocattolo classico e si sforza di far entrare in una sorta di scatola di forme: cilindri, cubi o prismi a base triangolare.
...Cosa sta facendo? Si sta familiarizzando con il gruppo euclideo in 3D. Sta classificando oggetti per specie, il che gli permetterà in futuro di riconoscerli, di fare il riconoscimento di forma.
...Nonostante siano di colore diverso, il bambino verifica che esistono effettivamente azioni del gruppo (trasporti di questi oggetti nello spazio 3D) che permettono di far coincidere il cilindro A con il cilindro B, utilizzando il filtro che è la "forma in rilievo" di quel cilindro o di quel prisma: l'ingresso verso il vano di classificazione della scatola. Imparerà così che questi cilindri A e B, rispetto al criterio forma (gruppo euclideo), appartengono alla stessa specie.
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