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Notiamo
di passaggio che il sistema proposto al bambino non è
privo di difetti. Funziona correttamente solo se gli oggetti messi a
disposizione sono quelli che sono stati venduti con il gioco stesso.
Si noti che il compartimento "cilindri" permette di introdurre cilindri
con lo stesso raggio, ma con lunghezze diverse, e anche delle molle,
un biberon, una chiave del armadio, ecc...
Logico,
il bambino che subisce questo apprendimento-gruppi potrà dedurre che una
chiave dell'armadio e un cilindro sono oggetti della stessa specie.
È vero, nel senso che questi oggetti hanno la proprietà comune
"che entra nel buco lì".
Mia
figlia, quando era molto più giovane, ha condotto esperienze molto
interessanti sui gruppi utilizzando come finestra di ingresso, come setaccio,
l'ingresso del lettore del mio computer. È stato necessario uno smontaggio completo, dopo la messa fuori servizio, per ricostruire il suo ragionamento, comunque logico. Oggi
rimane molto attratta dai gruppi. Ma non sono
gli stessi e questi scelte non mi piacciono molto.
Ritorniamo
al nostro bambino di poco fa. Pochi mesi dopo lo introdurrete a questo stesso bambino al gruppo di Galileo, lanciandogli degli oggetti e incoraggiandolo a prenderli. Allora la forma degli oggetti non è più importante, ciò che conta sono i loro movimenti. Cambiamo gruppo. Per il bambino l'oggetto (di dimensioni sufficientemente piccole
perché possa prenderlo) diventa assimilabile al suo centro di gravità.
È un "punto-massa", un "punto-materiale". Il gruppo di Galileo
gestisce la
dinamica dei punti materiali .
La classificazione avviene
allora in base ai tipi di movimento.
-
Questo, posso prenderlo.
-
Questo, non posso prenderlo.
Apprezzando
le condizioni iniziali, posizione e vettore velocità, a vista, il bambino
deve riconoscere il tipo di movimento con cui si trova di fronte,
e prevedere.
Diventato
grande, forse giocherà a tennis, mettendo sempre in gioco il gruppo
di Galileo che, come il gruppo di Euclide, è una matrice quadrata.
Come le palline da tennis si muovono a velocità evidentemente
basse rispetto alla velocità della luce, non gli sarà necessario
ricorrere al gruppo di Poincaré (un'altra matrice quadrata,
che gestisce i movimenti
relativistici
dei punti materiali) .
Questo
fatto, i punti materiali gestiti dal gruppo
di Galileo non sono più i punti del gruppo di Euclide, hanno dei
attributi .
Il specialista di
fisica matematica che manipola il gruppo di Galileo non parla più di punti materiali,
ma di
movimenti . Ciò che cerca di classificare, sono dei
movimenti. Si incontra allora un aspetto essenziale della fisica delle particelle
elementari: si cerca di associare una descrizione
fenomenologica:
Dimmi come sono
i tuoi movimenti, ti dirò cosa sei.
Non si cerca più a sapere "di cosa è costituita una particella",
ma come si
comporta . Così le particelle neutre non si comportano in modo
identico alle particelle cariche elettricamente. Appartengono a specie diverse.
Hanno attributi diversi.
Il nostro
bambino di poco fa, diventato fisico delle alte energie,
potrebbe esaminare quotidianamente fotografie ottenute in camera a bolle.
Fotografie ottenute
con una camera a bolle (Schem..
)
Fotografia a sinistra: un protone, un neutrone e un elettrone hanno attraversato
il campo della camera. La camera è sottoposta a un campo magnetico
perpendicolare al piano della figura. Il neutrone, privo di carica elettrica,
non se ne preoccupa. È lui che va dritto. Le particelle cariche hanno
raggi di curvatura (raggio di Larmor) molto diversi. Gli elettroni leggeri girano molto più velocemente in un campo magnetico perpendicolare alla direzione del loro movimento rispetto ai pesanti protoni.
E entrambi girano in senso inverso.
Insieme di movimenti,
in un campo magnetico, gestito da....
Ma questo gruppo non esiste
ancora. Se lo trovaste, fareste felici.
In ogni caso, nostro uomo, esaminando le sue fotografie, vi scorge
delle traiettorie appartenenti a insiemi di movimenti diversi.
-
Questo va dritto, è un neutrone.
-
Questo va a
destra lentamente, è un protone. -
Questo va a
sinistra velocemente, è un elettrone.
Fotografia a destra: un elettrone e un anti-elettrone nati
dallo stesso radiazione (puntinata) adottano traiettorie simmetriche,
segno che possiedono cariche elettriche opposte.
Classificazione comportamentale
delle specie, come insiemi di movimenti.
Il momento.
Questo
oggetto puramente geometrico può essere considerato
come un insieme di attributi. Lasciamo da parte le particelle
cariche, ci torneremo in seguito. Un "punto materiale relativistico" possiede
attributi raggruppati in base a ciò che il matematico Jean-Marie
Souriau, leader in materia di
fisica matematica
in un oggetto chiamato
momento legato al gruppo di Poincaré
Gli attributi del punto
materiale relativistico si chiamano:
-
Energia E
-
Quantità di moto
p
- Momento angolare
l (
legato al momento angolare)
- Velocità di traslazione
f
Il "momento" è quindi:
J = { E ,
p
,
l
,
f }
Osservazione di passaggio:
Si
è abituati, in tutto ciò che seguirà, a indicare le quantità
scalari con lettere sottili e quelle non scalari (matrici quadrate,
matrici riga, matrici colonna) con lettere grasse.
Precisione:
si possono effettuare tutte le moltiplicazioni matriciali riga-colonna
manipolando queste lettere sottili o grasse, il che è estremamente
comodo. Diamo un esempio. L'azione dell'elemento del gruppo
di Euclide 2d si scriveva:
Introducendo:
si otterrà la forma più compatta:
g
si presenta allora sotto forma di una matrice, a sua volta
composta da sottomatrici:
-
a
è una matrice
quadrata di formato (2,2). -
c
è un vettore-colonna
(il vettore di traslazione) di formato (2,1). -
0
è un vettore-riga
di formato (1,2) :
In generale
i 0
grassi sono indifferentemente vettori-riga o vettori-colonna.
L'azione si scrive
allora:
Considerato che
a r
significa
a x r
(ma si finisce per trascurare il segno della moltiplicazione matriciale).
Fine dell'osservazione, ritorno
al tema del momento. Torniamo all'espressione di questo momento
nel caso del punto materiale relativistico. J = { E ,
p
,
l
,
f }
E è uno scalare (l'energia).
p
è il vettore
quantità di moto
l
e
f
(lettere
grasse) sono altri vettori (lx,ly,lz) e (fx,fy,fz): il "momento angolare"
e la "velocità di traslazione".
Nel corso di lavori personali che presenteremo in questo sottosito Geometrical
Physics B (i gruppi dinamici della fisica), il problema consiste
proprio nel far emergere altri "attributi" delle particelle elementari,
come componente di un momento più ricco (le cariche: elettrica,
barionica, leptonica, tauonica e il coefficiente giromagnetico).
È
Souriau che, negli anni settanta, ha costruito il metodo
che permette di far apparire le componenti del momento di un punto materiale,
a partire dal gruppo che lo gestisce (in relatività si tratta del
gruppo di Poincaré). Vedere l'opera:
Struttura
dei Sistemi Dinamici. Dunod 1973
Aspirina fortemente raccomandata.
È
allora difficile andare oltre senza mettere in atto un equipaggiamento matematico
abbastanza vasto, se non complicato. Si potrebbe forse farlo in seguito,
sul sito, se ci sono appassionati, nel modo "Tutto ciò che avete sempre
..."