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Una matrice quadrata di rango (n,n) agisce su un vettore colonna (n,0). Come abbiamo visto, il gruppo euclideo 2D, riferito a uno spazio (x,y), non coinvolge azioni su vettori colonna:
(51)
ma bensì su vettori colonna:
(52)
Il che rappresenta un esempio
di azione
del
gruppo su uno spazio
Xcon
x X
. . Esistono infinite azioni possibili, anche solo del gruppo su se stesso. Le azioni sono definite da assiomi.
(53)
Considerando il vettore colonna:
(54)
dove
x
rappresenta, ad esempio, i vettori:
(55)
(56)
verifica gli assiomi dell'azione di gruppo. Si può quindi effettuare una moltiplicazione a sinistra della matrice quadrata che rappresenta l'elemento del gruppo, con una matrice riga
y
, chiedendosi se anche questo costituisca un'azione.
(57)
A g (y) = y x g
La risposta è no. Non si tratta di un'azione di gruppo: non soddisfa gli assiomi sopra indicati. È allora ciò che amo chiamare un'«anti-azione», che obbedisce ai seguenti «antiassiomi»:
(58)
Il matematico dirà che non è affatto necessario invocare queste «anti-azioni» e che esiste un unico insieme di assiomi. Certamente. Allo stesso modo, ciò che viene considerato un'anti-azione:
(59)
AAg(m) = g⁻¹ x m x g
essendo m un vettore dato, una «anti-azione dell'elemento g del gruppo G sulla matrice m», con g⁻¹ che indica la matrice inversa, può essere trattata come un'azione dell'elemento g⁻¹.
Allo stesso modo, un'anti-azione non è altro che la duale di un'azione. Diciamo che mi è sembrato comodo introdurre questo concetto, per ragioni didattiche.
A partire da un gruppo di matrici quadrate, dipendente da n parametri pi, si possono costruire matrici differenziando tutti questi parametri secondo:
dp i. Le matrici così ottenute, punteggiate di elementi dp i, non costituiscono un gruppo, ma ciò che si chiama il «vettore tangente al gruppo»:
dg
(il suo «algebra di Lie», che a proposito non è neanche un vero e proprio algebra, ma passiamo...).
Il gruppo può quindi agire sul «vettore tangente» dg, nel vicinato dell'elemento neutro e del gruppo, attraverso l'«anti-azione»:
(60)
AAg(m) = g⁻¹ x dg (g=e) x g
Si ottiene quindi lo schema:
(61)
Ma un'anti-azione è la duale di un'azione. Ora, quando c'è dualità, c'è conservazione di un prodotto scalare S.
Souriau ha quindi cercato di costruire una seconda azione di gruppo, quella del gruppo sul suo spazio dei momenti. Ma questa azione, detta azione coadiunta o essenziale, non poteva emergere direttamente. È stato quindi necessario passare attraverso questo intermediario che io chiamo «anti-azione del gruppo sul suo vettore tangente».
Così l'azione cercata emerge come duale dell'anti-azione del gruppo sul suo vettore tangente. E la duale di un'anti-azione è un'azione, che si scrive:
(62)
Ag(J)
dove J sarà il «momento»: una costellazione di quantità che sono attributi di un «punto materiale», l'azione in questione, detta coadiunta, mostra come questi attributi si modificano nel moto.
Esiste un gruppo, che verrà dato in seguito, che è un'estensione del gruppo di Galilei, anch'esso dato in seguito, e che si chiama gruppo di Bargmann (1960). Applicando questo metodo a questo gruppo, si può costruire il suo momento JB e la maniera in cui il gruppo agisce su di esso.
Souriau ha l'abitudine di dire:
Il momento segue il moto come la sua ombra.
Bella immagine, tratta dal suo libro «Grammatica della Natura». Il punto materiale si muove effettivamente nello spazio-tempo (x,y,z,t). In questo movimento i suoi attributi evolvono, il che è descritto da questa azione coadiunta del gruppo sul suo spazio dei momenti.
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