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Non scriveremo le componenti del momento del gruppo di Bargmann. In modo schematizzato scriviamo il momento del gruppo di Bargmann come segue:
J B = { un scalare m, più le altre componenti del momento }
L'azione coaggiunta
indica come si trasformano le diverse componenti del momento. Ma questa azione coaggiunta inizia con la relazione semplice:
(63)
m' = m
L'azione coaggiunta del gruppo di Bargmann sul suo momento inizia con la conservazione della massa, che emerge così con un
statuto puramente geometrico
.
Costruzione dell'azione coaggiunta del gruppo di Poincaré sul suo spazio dei momenti J p.
Se siete già completamente persi, lasciate perdere. È normale e diventerà sempre più difficile man mano che si procede. Non so più bene, a questo punto, a chi è rivolto quanto segue. Probabilmente a fisici teorici o a matematici, ma probabilmente non a idraulici. Ma uno studente di Grande Ecole o di laurea in fisica che si aggrapperà potrà seguire. Non sono mai che delle matrici.
Tutto parte da un gruppo di matrici di formato (4,4) che costituiscono il gruppo di Lorentz, il cui elemento è L.
Questi sono definiti in modo assiomatico a partire da una matrice G:
(64)
secondo:
(65)
t L G L = G
che coinvolge la trasposta della matrice L.
Le matrici L formano un gruppo.
Dimostrazione.
L'elemento neutro è L = 1:
Siano L1 e L2 due elementi dell'insieme. Verifichiamo che il prodotto L1 L2 appartiene al gruppo. Se così fosse:
t (L1 L2) G L1 L2 = G
Ma:
t (AB) = t B t A
Pertanto:
t (L1 L2) G L1 L2 = t L2 t L1 G L1 L2 = t L2 (t L1 G L1) L2 = t L2 G L2
Calcoliamo quindi l'inversa della matrice L. Partiamo dalla definizione assiomatica degli elementi L:
t L G L = G
Moltiplichiamo a destra per L-1:
t L G L L-1 = G L-1 → t L G = G L-1
Moltiplichiamo a sinistra per G:
G t L G = G G L-1 → G t L G = L-1
Pertanto l'inversa della matrice L è:
L-1 = G t L G
Quindi:
(66)
il vettore spaziotemporale. La matrice G proviene dalla metrica di Minkowski, che può essere scritta (con c = 1):
(67)
Esercizio: dimostrare che la matrice inversa obbedisce a:
(68)
Introduciamo quindi un vettore di traslazione spaziotemporale:
(69)
Da cui costruiamo l'elemento g p del gruppo di Poincaré:
(70)
Esercizio: dimostrare che questo forma un gruppo e calcolare la matrice inversa:
(71)
Di seguito il "vettore tangente al gruppo, elemento della sua "Algebra di Lie":
(72)
Da questo calcoleremo l'anti-azione:
(73)
d g p ' = g p -1 x d g p x g p
Per comodità di calcolo, notiamo che:
(74)
G d L è una matrice antisimmetrica. Chiamiamola:
(75)
quindi:
(76)
Definiamo:
(77)
Da questo materiale costruiremo l'anti-azione:
(78)
d g p ' = g p -1 x d g p x g p
Dopo tutti i calcoli otterremo l'applicazione:
(79)
Se volete saltare questa parte di semplice calcolo matriciale, riferitevi all'equazione (80), fondo pagina
(79a)
(79b)
da cui gli elementi dell'anti-azione:
(79c)
ma:
(79d)
quindi:
(79e)
ma GG = 1
quindi:
(79f)
da cui otteniamo l'applicazione:
(79g)
Questo costituisce l'anti-azione cercata, l'applicazione:
(80)
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