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Un elemento
g
p del gruppo di Poincaré
Gp è definito da una successione di parametri {
p
i},
il cui numero, come abbiamo già detto, rappresenta la
dimensione del gruppo
. La matrice
d g
(g = e)
è costituita dalle quantità
{
dp
i} . L'applicazione
sopra è quindi del tipo :
(81)
In altre parole, ad un insieme di scalari
dp
i
si fa corrispondere un numero uguale di scalari
dp
i
'.
La dualità consiste nel postulare l'invarianza
di uno scalare, secondo :
(82)
n essendo la dimensione del gruppo (dieci, per il gruppo
di Poincaré). Gli scalari Ji rappresentano le componenti
del momento, con lo stesso numero.
Decideremo di scomporre questo momento
Jin due oggetti. Il primo sarà una matrice
Mantisimmetrica
di formato (4,4), quindi avente sei componenti, e il secondo un "quadrivettore"
P, matrice di formato (4,1) :
(83)
(84) J = {
M,
p
, E} = {
M,
P }
Scriveremo il prodotto scalare nella forma
:
(85)
Tr significando "traccia di", e avremo ancora :
(86)
forma lineare la cui invarianza assicura la dualità.
con :
(87)
(87b)
(87c)
ma
GG
= 1
quindi questo vale :
(88)
Identifichiamo i termini in
y (89)
Cioè :
(90)
----> Anche qui seguono dettagli di calcolo
matriciale. Se lo desiderate,
cliccando qui
potete andare direttamente al risultato
Nella traccia si può effettuare una permutazione circolare
dei termini.
(90a)
(90b)
(90c)
il secondo termine del secondo membro è uguale al prodotto di una
matrice riga per una matrice colonna.
Questo è uguale alla traccia del prodotto inverso
(di seguito, schematicamente, il prodotto di una matrice riga per
una matrice colonna):
(90d)
In questa traccia, posso effettuare una permutazione
circolare :
(90e)
Da cui :
(90f)
(90g)
Qui applicheremo nuovamente il teorema
sulle tracce delle matrici che sono il prodotto di un'altra matrice per una
matrice simmetrica.
Ogni matrice può essere resa simmetrica
o antisimmetrica. Inoltre, la traccia del prodotto di una matrice
per una matrice simmetrica è nulla.
(90h)
Posso applicare questo alla matrice (90i)
poiché si prende la traccia
(90j)
(90k) = sim ( ) + antisim ( )
ma :
(90l)
quindi
(90m)
(90n)
(90o)
(90p)
e :
(90q)
infine :
(90r)
Raggruppando e cambiando i primi di lato
ottengo la mia azione di gruppo :
Immagini
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