8
(91)
Questa azione coadiacente può essere scritta in forma matriciale.
La matrice del gruppo di Poincaré è:
(92)
la sua trasposta è:
(93)
Consideriamo la matrice:
(94)
Cioè, andremo a mettere il momento
(95)
Jp = {
M,
P }
in forma matriciale e formiamo il prodotto:
(96)
(97)
(98)
che posso identificare con la matrice:
(99)
Jp è quindi il momento del gruppo di Poincaré, messo in forma matriciale. E l'azione coadiacente si scrive:
(100)
Come esercizio, il lettore potrà, basandosi sugli assiomi, verificare che è davvero un'azione.
Il momento del gruppo di Poincaré può essere espresso come segue:
(101)
Questa matrice è antisimmetrica (il che implica che la sua diagonale principale è costituita da zeri).
Mè la matrice:
(102)
Esplicitiamola:
(103)
È davvero una matrice antisimmetrica, l'ipotesi formulata fin dall'inizio, che dipende da sei parametri:
(104)
( lx , ly , lz , fx , fy , fz )
Le ultime tre ( fx , fy , fz ) sono le componenti di un vettore, il vettore-
passaggio f
:
(105)
Le prime tre ( lx , ly , lz ) sono le componenti indipendenti di una matrice antisimmetrica (3,3), il
tormento
l
:
(106)
Così:
(107)
Il vettore
Pè il
quadri-vettore impulso-energia
:
(108)
Si può allora esplicitare il momento del gruppo di Poincaré, in tutta la sua generalità:
(109)
Si verifica che è davvero un oggetto con dieci componenti (numero uguale a quello delle dimensioni del gruppo).
(110)
Jp = { E , p
x
, p
y
, p
z
, f
x
, f
y
, f
z
, l
x
, l
y
, l
z
} = { E ,
p
, f , l
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