9
Particelle con spin.
Il gruppo di Poincaré descrive
il movimento relativistico di un oggetto puntiforme. In modo simile, il gruppo
di Bargmann, la cui espressione sarà data in seguito, descrive
il movimento non relativistico di un oggetto puntiforme, che viene chiamato allora "punto-massa".
Perciò si vede che questa tecnica, il calcolo
dell'azione coadiacente del gruppo su uno spazio dei momenti, ha permesso di
far emergere elementi nascosti, attributi
dell'oggetto: le
componenti del momento
.
Ciò che è notevole è che questa
procedura, dovuta a Souriau, fa emergere gli oggetti
chiave della fisica
come oggetti puramente geometrici
. Ha quindi realizzato un lavoro senza precedenti di
geometrizzazione della fisica
.
Oltre all'energia e alla quantità di moto,
altri componenti, il "giramento" e il "passaggio", sconcertano
abbastanza il fisico. Cosa sono questi?
L'espressione delle componenti del momento
dipende ovviamente dal sistema di coordinate
scelto.
Il più semplice è probabilmente fare un breve ritorno al non relativistico, altrimenti all'espressione dell'azione
coadiacente, come sarebbe emersa dall'analisi del gruppo
di Bargmann.
(111)
Formula misteriosa. A cosa serve?
Come funziona?
In questo riquadro il fisico avrà
riconosciuto alcuni oggetti familiari:
(112)
non sono che due espressioni del vettore velocità {
vx , vy , vz }, la prima in forma di matrice colonna e la
seconda in forma di matrice riga. Il prodotto delle due matrici
è uno scalare:
(113)
qualcosa che inizia a somigliare a
un'energia cinetica.
m v
è una quantità di moto.
Il fisico tradizionale, riguardo alla dinamica
di un punto materiale, conosce solo tre cose:
-
La massa m
-
La quantità di moto m
v
- L'energia cinetica 1
/ 2
mv2
Sì, ma velocità
rispetto a cosa
?
Un gruppo è anche un
punto di vista
sulle
cose. Si può allora considerare che si trasporta, con l'aiuto del gruppo, degli oggetti (come visto con il gruppo di Euclide),
rispetto a un osservatore supposto fisso, oppure, l'oggetto essendo
fisso, che lo si osserva in altro modo.
Se si considera questo spostamento, questo trasporto
degli oggetti, riguardo ai
gruppi dinamici
, quelli della fisica
(in opposizione al gruppo di Euclide dove il tempo non appare),
si dovrà dire anche che si
dona vita
agli oggetti, conferendo loro velocità
v
e energia E .
Se si adotta il punto di vista inverso: considerare
che l'oggetto è fisso e considerare di spostarsi, si dà un senso ai gruppi?
Il gruppo di Euclide significherebbe allora:
"Visto da un altro posto e da un altro angolo".
"L'altro posto" è il
vettore di traslazione
:
(114)
"Visto da un altro angolo" è la matrice di rotazione
a
, una rotazione nello spazio (che potrebbe essere esplicitata con
gli angoli di Eulero, cosa che non faremo).
Riguardo ai gruppi dinamici, questo punto di vista, questo
modo di guardare alle "cose", deve essere arricchito. Restando nel
contesto del gruppo di Bargmann, il fatto di introdurre questa velocità
v
significa che, in aggiunta, l'osservatore, che osserva questo punto-massa da un altro posto
(vettore di traslazione
c
), da un altro angolo (matrice di rotazione
a
), è anche dotato, rispetto a questo punto massa
supposto immobile, di una velocità
v
.
E, per essere completi, per rendere le cose più complicate,
non evolve nello stesso tempo della particella, il punto
massa osservato. È spostato rispetto a
lui di un intervallo di tempo
D t.
In altre parole: lo osserva da un altro posto, ma è un altro posto spazio-temporale,
corrispondente al vettore di traslazione spazio-temporale:
(115)
Avendo preso un tale "distacco", rispetto a
questo punto-massa, cosa noto? Primo che: m' = m
Questo non influisce sulla sua massa.
Posso semplificarmi la vita annullando la rotazione.
Già abbastanza complicato osservare un punto massa
da un altro posto, visto da un altro momento, spostato, su
una tavoletta a rotelle dotata di velocità
v
. È davvero
indispensabile girare il collo?
No. Facciamo
a = 1
.
ma di solito si omette questo dettaglio
nei calcoli. L'azione coadiacente, così particolarizzata, diventa
:
(117)
Considerare deve essere inteso qui nel suo senso
etimologico. Cosa faccio quando considero una situazione,
il cielo, un campo di battaglia, il film preso da un aereo spia?
Un cancelliere scriverà:
- Considerando la situazione sul posto.....
Visione statica, corrispondente al gruppo di Euclide. Il cancelliere
osserva gli oggetti a una distanza
c
, nello stesso momento (
D t
= 0), in pratica immobile (
v
= 0). In casi particolari sotto
un certo angolo, sotto "un certo angolo".
Un generale che si muove in un aereo di
ricognizione è una sorta di cancelliere che si muove (
v
0).
Ma un capo di stato maggiore che guarda il film preso da un
aereo spia, un "drone", si trova di fronte a una situazione spostata
nel tempo. È obbligato a dire:
- Consideriamo la meta, vista da un certo punto, in virata
inclinata, a una certa velocità, e inoltre come appariva
due ore fa...
La meta non ha una velocità particolare. Non si può considerarla come fissa, anche se è "un impianto
fisso". Anche la Terra si muove, così come il Sole, la galassia, ecc.
Ritorno al sottosezione "gruppi
e fisica"