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Tutto ciò che posso dire è:
- che allontanandomi dalla "target" di una distanza
c
.
- osservandola muovendomi io stesso a una velocità
v
.
- essendo, rispetto a questa target, sfasato di un intervallo di tempo
D t
Rispetto a me:
--- Non ho modificato la sua massa m.
--- Le ho conferito un impulso m
v
(quantità di moto).
---- Le ho conferito un passaggio m [c - v D t]
---- e una rotazione:
Esplicitiamo questa:
(118a)
(118b)
(118c)
oppure:
(118d)
Possiamo considerare le tre componenti indipendenti della matrice rotazione
l
come quelle di un vettore. Questo si scrive allora:
(119)
Anche se non abbiamo definito il prodotto vettoriale nello spazio, cioè non gli abbiamo attribuito una direzione destra-sinistra, possiamo considerarlo come un prodotto vettoriale:
(120)
il
v
rovesciato indica il prodotto vettoriale. Si vede che l'ultima riga delle formule che danno l'azione aggiunta sul momento corrisponde a:
(121)
l
essendo una matrice e non un vettore (ma, nelle nostre notazioni, le lettere in grassetto indicano indifferentemente l'uno o l'altro, quelle sottili si riferiscono ai scalari).
Questo vettore prodotto vettoriale comincia a somigliare, per il fisico, a qualcosa di noto: il
momento angolare
.
Prendiamo una particella, ci allontaniamo da essa di
c
e la osserviamo mentre ci muoviamo alla velocità
v
. Tutto sembra come se fosse l'inverso: che la particella sia allontanata da un osservatore supposto fisso e si muova a una velocità
v
.
(122)
Resta il "passaggio"
f
= m [c - v D t]
Si annulla semplicemente ponendo
c = v D t
, cioè collegando la velocità
v
e la traslazione spazio-temporale:
(123)
Riprendiamo l'espressione del momento derivato dal gruppo di Poincaré, espressa in un sistema di coordinate in cui il passaggio sia nullo:
(124)
Una particella è una scelta particolare effettuata sul momento. Tuttavia, cambiamenti di coordinate permettono di far sparire il passaggio
f
e di ridurre le componenti della rotazione
l
e dell'impulso
Pa una sola componente (moto lungo z):
(125)
L'oggetto descritto dal gruppo di Poincaré possiede quindi a priori:
-
un'energia E
-
un impulso P
-
una rotazione propria l
La rotazione è una massa moltiplicata per una lunghezza, tutto moltiplicato per una velocità. Ha quindi le dimensioni M L² T⁻¹ della costante di Planck h.
Il metodo della
quantizzazione geometrica
, sviluppato da Souriau (vedi Structure des Système Dynamiques, Dunod 1973), permette di dimostrare che questa rotazione deve essere proporzionale a:
(125b)
con valori seminteri. Cioè o l'unità (fotone), oppure 1/2 per le altre particelle come l'elettrone, il protone, il neutrone, i neutrini e le loro antiparticelle.
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