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Le quattro componenti del gruppo di Poincaré.
A partire dal gruppo di Lorentz si costruisce il gruppo di Poincaré, già menzionato:
(142)
C è il vettore "traslazione spazio-temporale".
(143)
Questo gruppo di Poincaré avrà anch'esso quattro componenti, ognuna legata alla corrispondente componente del gruppo di Lorentz.
Qui sopra, l'azione del gruppo sul suo spazio dei movimenti. Ma ciò che è interessante sono le azioni delle quattro componenti sul momento. Vedi: Souriau, Structure des Systèmes Dynamiques, Dunod 1973 (e Birkhauser 1997, in inglese), capitolo III, pagina 197, sezione intitolata:
Inversioni di spazio e di tempo.
Ricordiamo le componenti del momento associate al gruppo di Poincaré:
E: energia
p: impulso
f: passaggio
l: rotazione
Per avvicinarci alle notazioni di Souriau, chiamiamo:
-
L_n la componente neutra del gruppo di Lorentz.
-
L_s quella che inverte lo spazio.
-
L_t quella che inverte il tempo.
-
L_st quella che inverte entrambi.
Essendo C una traslazione spazio-temporale, le quattro componenti del gruppo di Poincaré sono:
g_p(L_n, C) componente neutra
g_p(L_s, C) che inverte lo spazio
g_p(L_t, C) che inverte il tempo
g_p(L_st, C) che inverte spazio e tempo.
Cerchiamo gli effetti sulle componenti del momento. Dobbiamo considerare le formule che danno l'azione del gruppo sul suo spazio dei momenti:
(144)
P è il quadrivettore:
(145)
Possiamo scrivere le matrici da analizzare:
(146)
con l = ±1 e m = ±1.
L_n = L(l = 1; m = 1)
L_s = L(l = -1; m = 1)
L_t = L(l = 1; m = -1)
L_st = L(l = -1; m = -1)
(147)
(148)
Passiamo all'esame dell'azione sulla rotazione e sul passaggio.
(149)
Ma, in ciò che ci interessa, C = 0
(150)
da cui l' = l e f' = l m f
Da ciò deduciamo:
(151)
g_p(L_n, C): I
E → E; p → p; f → f; l → l
g_p(L_s, C): I
E → E; p → -p; f → -f; l → l
g_p(L_t, C): I
E → -E; p → p; f → -f; l → l
g_p(L_st, C): I
E → -E; p → -p; f → f; l → l
Le inversioni non cambiano mai la rotazione l.
Al contrario, l'inversione temporale e l'inversione dell'energia, E → -E, sono sinonimi.
La rotazione è sinonimo di spin, quando quantizzata. Nessuna inversione la altera.
Lo spin (in quanto modulo del vettore rotazione della particella) è semplicemente un numero.
L'energia di una particella a riposo è mc².
L'inversione temporale è sinonimo di inversione della massa m.
L'inversione spaziale non inverte la massa.
Le prime due componenti del gruppo sono denominate da Souriau ortocroni, e le ultime due anticroni.
Osserva che tutto ciò solleva il problema delle masse negative, che i fisici non amano particolarmente. Infatti, che dire del risultato dell'incontro di due particelle dotate di energie +mc² e -mc²? Si ha un'annichilazione completa. Non si tratta della semplice annichilazione materia-antimateria, che invece produce fotoni. Si tratterebbe di un fenomeno che produrrebbe il nulla in forma pura.
Per evitare questo problema delle masse negative, Souriau considera due soluzioni. La prima consiste nel decidere semplicemente che le particelle a massa negativa non esistono. La seconda consiste nell'escludere le trasformazioni anticroni.
Parafrasando potremmo dire che:
- Dio, nella sua infinita saggezza...
Continuiamo a mettere in atto elementi che serviranno da punto di partenza per il nostro lavoro.
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