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Estension centrale del gruppo di Poincaré.
Si trova menzione di un'estensione di questo tipo nel libro di J.M. Souriau, Sur la structure des systèmes dynamiques. La sua metodologia di quantizzazione geometrica gli permette, a partire dal gruppo, di ricondurre alle equazioni della Meccanica Quantistica. Per esempio, il gruppo di Bargmann, che descrive una particella materiale non relativistica, conduce all'equazione di Schrödinger, anch'essa non relativistica.
Il punto di partenza è il gruppo di Galilei. Si tratta di una matrice di dimensione (5,5) costruita in questo modo:
(152)
La matrice di rotazione dipende da tre parametri, gli angoli di Eulero. Pertanto, la dimensione del gruppo è dieci.
Utilizzando le notazioni:
(153)
(154)
associata allo spazio-tempo:
(155)
Nonostante possa sembrare strano, la costruzione dell'azione coadiacente del gruppo sul suo spazio dei momenti non fa emergere la massa m come oggetto geometrico. Questo può avvenire solo attraverso un'estensione non banale di questo gruppo, il gruppo di Bargmann (1960).
(156)
La presenza del valore scalare
f
rende il gruppo di dimensione undici.
Questo gruppo agisce su uno spazio a cinque dimensioni, lo spazio-tempo, più una dimensione aggiuntiva
z
, attraverso l'azione:
(157)
L'azione coadiacente del gruppo di Bargmann sul suo momento è stata data in precedenza. Si osserva che l'aggiunta del valore scalare
f
, che aggiunge una dimensione al gruppo, aggiunge una componente al momento, che può essere identificata con la massa m (la quale, a proposito, risulta conservata: m' = m).
Partendo dal gruppo di Bargmann e utilizzando la sua metodologia di quantizzazione geometrica, Souriau può così costruire l'equazione di Schrödinger, non relativistica.
L'equazione quantistica relativistica è l'equazione di Klein-Gordon. Era quindi logico cercare da quale gruppo potesse derivare. Si tratta dell'estensione centrale:
(158)
"pe" per "Poincaré esteso". Qui abbiamo costruito il gruppo di Poincaré a partire dal sottogruppo ortocrono del gruppo di Lorentz Lo.
Lo spazio associato a questo gruppo è anch'esso uno spazio a cinque dimensioni:
(159)
( t , x , y , z ,
z )
.
Questa estensione è più semplice di quella di Bargmann, ma in realtà le cose sono sempre più semplici in ambito relativistico. Si dimostra, incidentalmente, che tra il 1 e il
f
della prima riga può trovarsi soltanto la matrice riga
0
= ( 0 0 0): tutti zeri.
La metodologia di
quantizzazione geometrica
conduce quindi all'equazione di Klein-Gordon. Riguardo all'azione del gruppo sul suo spazio dei momenti si ottiene quanto segue:
(160)
Jpe = {
c
,
M,
P
} = {
c
,
Jp }
Il calcolo non è complesso. In realtà si basa completamente sul calcolo dell'azione coadiacente del gruppo di Poincaré sul suo momento.
Si calcola l'anti-azione:
(160 b )
poi si esprime l'invarianza del prodotto scalare (dualità):
(160 c)
Se riuscite a superare questo calcolo, sarà un chiaro segno positivo. Significherà che state iniziando a entrare in questo caos.
Appare quindi un valore scalare
c
, la cui unica funzione è quella di conservarsi. Che cosa significa? Nessuna spiegazione. È semplicemente "qualcosa che si conserva". Si può attribuirgli, per esempio, il ruolo di carica elettrica.
La prima idea che viene in mente è quella di realizzare questo tipo di estensione più volte:
(161)
Si dimostrerà più avanti che si può effettuare questa operazione all'infinito e che ogni volta si aggiunge un valore scalare aggiuntivo:
(162)
Jpe = {
c 1
,
c 2
,
c 3
.....,
M,
P } J
pe = {
c 1
,
c 2
,
c 3
.....,
Jp }
con azione coadiacente:
(163)
Si considererà quindi che alcuni valori discreti delle componenti del momento rappresentino le cariche della particella.
Bene, dirà il lettore, effettivamente si potrebbe aggiungere, per esempio, sei righe aggiuntive. Si otterrebbe così l'invarianza di scalari che si potrebbero identificare con:
(164)
c
1 = e (carica elettrica)
c
2 = cB (carica barionica)
c
3 = cL (carica leptonica)
c 4 = c m
(carica muonica)
c 5 = c t
(carica tauonica)
c 6 = v
(coefficiente giromagnetico)
Sarebbe sufficiente considerare il gruppo, con l'azione corrispondente, associato a uno spazio a dieci dimensioni:
(165)
( x , y , z , t ,
z 1
,
z
2 ,
z
3 ,
z 4
,
z
5 ,
z 6 )
(166)
Ancora una volta costruiamo il gruppo attorno al sottogruppo ortocrono Lo del gruppo di Lorentz:
Lo = Ln (componente neutra)
»
Ln (inversione dello spazio).
Questo gruppo, a due componenti, fa semplicemente emergere sei scalari che accompagnano la particella senza interagire con nulla. Il momento diventa:
(167)
Jpe = { q , cB , cL , c
m
, c
t
,
v
,
Jp }
Jp essendo la "parte di Poincaré". Ma ciò rimane di interesse limitato.
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