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Torna alla questione del momento.
Siamo pronti a intraprendere
un'avventura, cioè a scrivere una semplice matrice,
a inventare un gruppo dipendente da un certo numero di parametri
e capace di agire su uno spazio dotato di un certo numero di
dimensioni (qui, in particolare, dieci). Poi, lavorando in modo
boustrofediano (da bous, il bue, e strophedein, il solco), abbiamo
calcolato questa famosa
azione coadiunta del gruppo sul suo
spazio dei momenti
e ne abbiamo definito l'oggetto, i suoi attributi, le componenti,
e il modo in cui questa azione coadiunta agisce su di esse, a cui
cercheremo ora di dare un
senso
, un'
interpretazione fisica
.
Ritorniamo per un istante sul cammino percorso,
rimettendo in moto un gruppo che, se formalmente sembra più
complesso:
(168)
ci ha fornito un'azione coadiunta, di seguito:
(169)
la quale ha subito fatto emergere le componenti di questo
oggetto puntiforme
, di questo
punto materiale
.
(170)
J B = { E , m ,
p
,
f
,
l } J B = = { E , m , px , py , pz , fx , fx , fx ,
lx , lx , lx }
In ogni caso, sapevamo fin dall'inizio che
questo misterioso momento doveva essere composto da undici scalari,
poiché il loro numero doveva essere uguale alla dimensione
del gruppo, che è anch'essa undici. Un'occhiata alla matrice-elemento
del gruppo di Bargmann:
(171)
a è una matrice "ortogonale", una matrice "che ruota"
o che "è legata a una rotazione in uno spazio 3D". L'avevamo esplicitata
nel caso a due dimensioni. In quel caso, questa matrice dipendeva
da un solo parametro, l'angolo di rotazione
a
.
In 3D dipenderà invece da tre parametri,
gli angoli di Eulero:
a b g
Il vettore velocità
v
fornisce tre parametri aggiuntivi:
vx vy vz
La traslazione spaziale
c
ne introduce altre tre:
D x D y D z
e la traslazione temporale ne aggiunge un altro:
e = D t
Totale: dieci.
Aggiungiamo un misterioso dodicesimo parametro:
f
" legato al mondo quantistico". Bene...
Totale generale: undici. Dunque un momento a
undici componenti, che potrei scrivere nella forma:
(172)
J B = = { J1 , J2 , J3 , J4, J5 , J6 , J7 , J8
, J9 , J10 }
Calcolando in ogni caso, ho potuto mettere in evidenza
legami tra queste componenti del momento, il modo in cui si articolavano
tra loro, si raggruppavano per costituirsi:
-
in scalari (E e m)
-
in vettori (
p
e
f
)
- in matrice:
l
.
È come se dicessi: un essere umano ha una testa, due braccia e due gambe. Ma come si muove,
come questi "componenti" sono "articolati" tra loro?
L'azione coadiunta ci ha poi precisato
come il gruppo agisce su questi elementi del momento:
(173)
In questa tabella si è subito notato che in questo famoso
momento esiste una delle sue componenti, m (alla quale avremmo potuto
benissimo lasciare il nome iniziale arbitrario: J 2
), un semplice scalare, che rimane insensibile a questa azione del gruppo.
Allora abbiamo pensato che questo ruolo si adattasse
abbastanza bene a ciò che crediamo di sapere della
massa
m in un mondo non relativistico.
Queste formule del momento ci fornivano i valori di
queste apparenze chiamate attributi, componenti del momento associato
al punto
materiale
: stiamo tracciando la materia nei suoi
stati: quando è ruotato (
a
), spostato
spazialmente (
c
), temporalmente (e), animato da una velocità
v
e misteriosamente spostato nella cinque dimensione
altrettanto misteriosa
z
, di una quantità
f
, di cui ci viene detto che "tutto ciò è legato al quantistico".
Bene...
Il momento subisce una trasformazione, tramite l'azione coadiunta
che agisce su di esso. Passa da uno "stato":
(174)
a un altro "stato":
(175)
Perché non considerare allora una sorta di
"stato fondamentale", che sarebbe:
(176)
J B = { 0 , 0 ,
0
,
0
,
0
} = { 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0, 0 }
dicendo che un'azione coadiunta farebbe allora emergere
attributi che potrei riconoscere.
Ma vedo che dovrei almeno includere la massa
m, poiché l'azione coadiunta non la cambia. Se la prendessi nulla,
rimarrebbe nulla. Quindi devo partire dall'oggetto di base:
(177)
J B = { 0 , m ,
0
,
0
,
0
} = { 0 , m , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 }
Questo oggetto
non ha energia
. È l'azione
del gruppo che gliene conferisce una. Allo stesso modo gli conferisce
una quantità di moto, un trasporto e una rotazione.
Un'energia
cinetica
:
(178)
Una
quantità di moto
(il fisico integralista direbbe
una
"quantità di moto"
) :
(179)
m v
Un
"rotolamento"
, una sorta di
"momento angolare proprio",
come se il nostro punto materiale potesse ruotare su se stesso
(il che potrebbe essere vero per una piccola pallina di metallo,
di massa m, abbastanza piccola da poter essere assimilata a
un oggetto puntiforme):
(180)
Rimane questo oggetto estremamente sconcertante
per un fisico, il "trasporto". E agendo su questo mio punto materiale,
gli ho conferito un "attributo-trasporto", mentre all'inizio
non ne aveva alcuno, e questo si rivela essere:
(181)
Le componenti della matrice del gruppo sono state tutte
trattate come grandezze indipendenti. È "il trasporto più generale".
Infine, quando si agisce su un essere umano, questo può
trovarsi "trasportato" e "messo in ogni stato".
Qui si tratterebbe del trasporto più generale,
dove il nostro punto materiale è,
oppure:
- ruotato:
a
- spostato spazialmente:
c
-
spostato temporalmente: e
-
animato da una velocità:
v
- spostato di una quantità misteriosa
f
in uno spazio altrettanto misterioso
z
.
Oppure:
- osservato da lontano
c
- da un osservatore animato da una velocità
v
- da un certo angolo
a
- secondo un filmato registrato e = D
t prima o dopo.
- da un "quinto punto di vista" spaziale
z
, dove l'osservatore si sarebbe misteriosamente "spostato di
z
"
Tutto ciò dovrebbe essere considerato
"ritornare allo stesso".
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