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Applicazione a quanto precede:
(197)
È stata utilizzata la proprietà ovvia: la trasposta della trasposta di una matrice è la matrice di partenza.
Quindi, globalmente:
(198)
Se prendo una particella con massa non nulla, posso sempre immaginarmi di averla raccolta dall'albero della conoscenza degli stati a riposo e in movimento, con impulso nullo.
Ho visto che posso anche riuscire a cancellare il passaggio, collocandomi in un riferimento che "accompagna la particella nel suo movimento".
(199)
Non potrei mai considerare una particella con energia a riposo E₀ nulla. Non avrebbe senso fisico. Ma so anche, o sono tenuto a sapere, che una particella non può mai avere uno spin nullo, anche in un ipotetico stato di riposo. Inoltre, non solo lo spin, o "vettore spin", esiste sempre, ma il suo modulo s è invariante, anzi è una caratteristica della particella. È un multiplo semintero di h/2π, ovvero della costante di Planck ridotta. È anche una conseguenza della "quantificazione geometrica" inventata da Souriau.
Ancora una volta, della geometria...
Questi "attributi" sono un po' più sorprendenti degli attributi non relativistici menzionati in precedenza.
Ma va notato che questa "quantificazione geometrica" si applica anche al mondo non relativistico (gruppo di Bargmann), quantificando lo spin, il momento angolare individuale, la "vorticosità", lo spin, indipendentemente dal nome che gli si dia, della particella, del punto materiale, del sistema, gestito dal gruppo. Può cambiare direzione, ma:
Non toccare il mio modulo s.
Tutto ciò passa attraverso una variabile aggiuntiva z, considerata da alcuni teorici e matematici come "un intermediario di calcolo".
Comunque, in questo spazio a cinque dimensioni:
z, x, y, z, t
ci si sposta, ci si trasporta.
Ci sono cose che non creano problemi, come:
x → -x
y → -y
z → -z
che corrisponde a una simmetria P. Se la applichiamo non a un oggetto puntiforme, ma a un insieme di punti legati, le strutture vengono trasformate nel loro enantiomorfo, nell'immagine speculare. Ma per una particella isolata, si tratta semplicemente di un "altro movimento".
Tornando sempre nello spazio a 5 dimensioni, abbiamo visto che alcuni attributi si sono distinti.
Nel caso non relativistico:
- la massa m
- l'energia E
Nel caso relativistico:
- E e m intrecciati l'uno nell'altro in un'unica entità.
Sono semplici scalari. Il matematico direbbe che possono essere scelti indifferentemente positivi o negativi. Sono semplicemente scelte effettuate in uno spazio di momenti particolari, che costituisce lo spazio dei momenti, dipendente da n parametri (n uguale alla dimensione del gruppo). Nel momento legato al gruppo di Poincaré (non esteso):
(200)
Jₚ = {E, p, M}
i parametri possono a priori assumere qualsiasi valore, positivo o negativo.
Sia J l'insieme dei parametri che definiscono il momento. J è lo spazio dei momenti. In questo spazio dovremmo quindi poter distinguere due domini:
(201)
Il gruppo "sovrasta" questo spazio e garantisce i diversi trasporti. Contiene così elementi che permettono di trasformare un movimento nell'altro. Come dice Souriau:
Il momento segue il movimento come la sua ombra.
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