Come trasformare una crosscap in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta), passando per la superficie romana di Steiner.
27 settembre - 25 ottobre 2003
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Tutto ciò, come direbbe Kipling, è "grande abilità e grande magia".
Sono in pensione, ma, potrei dire, continuo a fare un po' di ricerca, nonostante me ne renda conto, come altri allineano file di maglia. Se avete pazienza e vi procurate fogli di cartoncino da 200 gr con quadrettatura, potrete facilmente ricostruire tutti questi modelli. Il mio amico Christophe Tardy sta creando a partire da questi materiali un'animazione, che dovrebbe essere davvero interessante.
La crosscap apparirà nei disegni che seguiranno, così come la superficie romana di Steiner. Ma potete scoprirle andando nella sezione
Realta Virtuale
, che richiede che abbiate scaricato Cosmoplayer sul vostro computer. Fatelo, è davvero piacevole. Tutto funziona grazie ai "punti cuspidali". Questi punti si formano naturalmente quando montate a cavallo e stringete le gambe con un colpo secco. Il corpo del cavallo si trova allora schiacciato lungo un segmento. La coscia sinistra si unisce all'alluce destro, mentre la coscia destra si unisce all'alluce sinistro. Per quanto riguarda il punto cuspidale, non cercatelo: semplicemente ci siete seduti sopra.
Ma tutto ciò è... un po' sgraziato. Passiamo a una "rappresentazione poliedrica" del punto cuspidale (come un cubo o un tetraedro possono essere considerati rappresentazioni poliedriche di una semplice sfera). La linea spessa rappresenta la "curva di auto-intersezione", terminata, peraltro, dal punto cuspidale C.
Stampate queste pagine, sarà meglio. In ciò che seguirà dovrete riconoscere un punto cuspidale in "diverse configurazioni" e non confonderlo con un semplice vertice del poliedro. Costruite, se ne avete il coraggio, questi diversi oggetti con il cartone, li capirete meglio. Di seguito abbiamo un'operazione fondamentale, detta "creazione-decreazione di una coppia di punti cuspidali". Il primo disegno rappresenta una sorta di cilindro che si sovrappone a se stesso lungo la linea spessa, la cui sezione ricorda la lettera greca gamma capovolta. Si deforma poi questa superficie stringendo il tubo la cui sezione ha forma di "lacrima capovolta". Questa lacrima si degrada in un punto S. Poi questo punto si duplica generando due punti cuspidali. È la creazione di una coppia. L'operazione inversa fa annullare due punti cuspidali. Sotto trovate la versione poliedrica dell'operazione.
Di seguito un'altra rappresentazione poliedrica della trasformazione, vicina a ciò che vedrete manifestarsi nella superficie successiva.
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