Come trasformare una crosscap in una superficie di Boy (destra o sinistra, a scelta) passando attraverso la superficie romana di Steiner.
27 settembre 2003
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Si presenta ora il modello da un altro angolo:
Piano 14: Si ripete la stessa operazione creando la terza "orecchia" della curva di auto-intersezione. Nel modello poliedrico questa ha la forma di tre quadrati con un vertice in comune: il punto triplo T.
Piano 15: Ruotando l'oggetto si ritrova la versione poliedrica della superficie di Boy che avevo precedentemente illustrato e presentato nel Topologicon (dove si trova un taglio che permette di costruirla).
Ultimo piano: ho cercato di rappresentare la superficie di Steiner (di quarto grado, mentre la Boy è di sesto) mentre si contorce e si trasforma in superficie di Boy.
Si vede che, in "forma rotonda", occorre una certa abitudine per comprendere l'oggetto. Il nostro occhio è molto a disagio quando si tratta di comprendere un oggetto in cui, lungo una stessa linea di vista, si sovrappongono più di due fogli. Da qui l'interesse del modello poliedrico che rende accessibili al comune mortale trasformazioni considerate sofisticate in geometria, nel momento in cui le persone fanno lo sforzo di costruire i modelli da sole. Nel passaggio si nota che a seconda delle coppie di punti cuspidali scelte si ottiene una superficie di Boy "destra" o "sinistra" (parole totalmente arbitrarie). Il piano proiettivo si immerge secondo due rappresentazioni "enantiomorfe", speculari. Si vede che si può passare da una Boy destra a una Boy sinistra attraverso un modello "centrale", che è la superficie romana di Steiner.
Sarebbe certamente simpatico che disegni di questo tipo fossero pubblicati su Pour la Science o La Recherche. Ma da venti anni sono "proibito dalla pubblicazione" su queste riviste per motivi di deviazionismo ovniesco. Grazie, signori Hervé This e Philippe Boulanger. Non conto più gli articoli di questo tipo che ho inviato a queste riviste e che mi sono stati educatamente restituiti. Si finisce per abituarsi al proprio status di escluso.
A titolo aneddotico, in Francia esiste un "premio d'Alembert" destinato a premiare autori di libri di divulgazione matematica. La storia me l'ha raccontata un membro della commissione incaricata di decidere a chi spettasse il premio (c'è comunque qualche soldo in palio). Dialogo:
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Ma insomma, non potremmo assegnare il premio a Petit? Ha prodotto opere notevoli come il Géométricon, il Trou Noir e il Topologicon.
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Sì, ma non ha fatto solo quei volumi.
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A cosa alludete?
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Ha scritto anche Il Muro del Silenzio.
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Ah, in queste condizioni...
Eh sì, Il Muro del Silenzio, uscito nel 1983, è un album dedicato alla MHD. E, come tutti sanno, questa scienza controversa ha il pregio, o la malizia, di permettere alle UFO di muoversi a velocità supersonica senza fare Bang.
Nascondete questa scienza, che io non la vedrei.
Ho nei miei archivi una versione straordinaria del "capovolgimento del cubo" con un modello centrale di una bellezza assoluta, che non è la versione poliedrica della variante di Morin. Tutto opera mia. Un giorno di questi...
22 ottobre 2003
: Non si affollano queste pagine, se mi fido del numero del contatore. Il lunedì 13 ottobre 2003 ho tenuto un seminario al CMI (Centre de mathématiques et d'informatique de Château-Gombert-Marseille) su invito di Trotman. In quell'occasione ho potuto esporre una collezione di una trentina di modelli in cartone, che avrete presto la prima visione, fotografati da Christophe Tardy.
Quando si tiene un seminario, si crea un'atmosfera. Nella foto seguente, un geometra che esprime la sua perplessità.
In secondo piano, parte dei modelli esposti. A un certo punto ho chiesto:
- Chi di voi ha già visto una superficie romana di Steiner? Alzate la mano.
Nessuno l'aveva mai vista. Ho quindi ritenuto utile presentare l'oggetto, in realtà virtuale, sul portatile che avevo portato con me, realizzato con il contributo di Christophe Tardy, ingegnere, e di Frédéric Descamp, dell'Institut Laue Langevin di Grenoble (ILL). Chiaramente questa presentazione ha sconcertato il pubblico, poco abituato a vedere superfici matematiche volteggiare a piacimento.
Due pannelli di cartone visibili in primo piano hanno permesso di presentare la successione dei modelli nel loro ordine logico. I modelli "verde e giallo" illustrano, in forma poliedrica, l'utensile fondamentale per la creazione e l'annullamento di una coppia di punti cuspidali. L'oggetto bianco più distante è una versione poliedrica della crosscap, che si trasforma dapprima in una versione poliedrica della superficie romana di Steiner, un metro più avanti, e poi, a piacimento, in superficie di Boy "destra" o "sinistra".
L'analisi dei modelli ha suscitato diverse osservazioni nel pubblico. Un geometra chiede:
- Se, seguendo i modelli in questo senso, si può passare dalla crosscap alla Boy, sembra che facendo il contrario si possa trasformare una Boy in crosscap.
Rispondo affermativamente. Audace, il mio interlocutore aggiunge:
- Se, arrivando allo stadio della superficie romana di Steiner, ci si ferma, diventa allora possibile ripartire verso una superficie di Boy speculare.
Approvo per la seconda volta. Ma purtroppo nessuno si offrirà di chiarire questo mondo strano in cui si dotano immersioni di superfici chiuse di punti cuspidali, creati o annullati a coppie, l'insieme costituendo una sorta di estensione del mondo delle immersioni. La parola "submersioni" mi sembra appropriata. Se un lettore trova chiarimenti, saranno i benvenuti.
Curvatura concentrata in un punto cuspidale
La si calcola sommando gli angoli al vertice e confrontando questa somma con la somma euclidea: 2π.
In alto a sinistra si è rappresentata una delle molteplici rappresentazioni poliedriche del punto cuspidale. Lo "smontaggio" dell'oggetto (a destra) conduce a una somma superiore alla somma euclidea 2π di un valore 2α. Se ne deduce che la curvatura angolare concentrata intorno a questo punto C è -2α. Se l'angolo α è uguale a π/2, la curvatura negativa vale -π (figura in basso a sinistra). In realtà la curvatura concentrata in un punto cuspidale può assumere un numero infinito di valori. In basso a destra si accentua la somma angolare e la curvatura diventa allora < -2α. Si accentua la curvatura negativa.
Operando in senso inverso si può arrivare a una situazione abbastanza sorprendente: fare in modo che la curvatura (angolare) concentrata in C sia... nulla:
Ora si può partire da una rappresentazione poliedrica della crosscap in cui compaiono due punti cuspidali corrispondenti ciascuno a una curvatura negativa pari a -π:
Ci sono otto "posicoins" corrispondenti a un valore +π/2. Aggiungiamo quattro altri "posicoins" di curvatura +π/4 e quattro "negacoins" di curvatura -π/4. Più i due punti cuspidali di curvatura -π.
Totale: 2π.
Dividendo questa curvatura totale per 2π si ritrova la caratteristica di Eulero-Poincaré di tutte le rappresentazioni del piano proiettivo (come la superficie di Boy).
Durante la mia conferenza ho accennato all'arte e al modo di scambiare i due punti cuspidali di una crosscap, utilizzando il capovolgimento della sfera. Non ricordo se l'ho messo da qualche parte sul mio sito. È un tale caos. Dovrò cercare, altrimenti lo metterò da qualche parte. È abbastanza divertente. To...