Il modello centrale del rovesciamento del cubo
31 dic 2001
Avete tutti visto girare in modo inesauribile un oggetto strano nella parte sinistra della pagina iniziale del sito. Di che si tratta?
Un giorno, quando avrò tempo, installerò sul sito una descrizione del rovesciamento della sfera, come l'avevo illustrato nel numero di gennaio 1979 di Pour la science, cioè ormai ... 22 anni fa. Tutto questo richiederebbe ovviamente molti dettagli e un'introduzione. Rovesciare una sfera, che cosa significa? Una sfera non ha lo stesso significato per un uomo della strada e per un matematico-geometra. Per l'uomo della strada, essa è definita come l'insieme dei punti che si trovano a una distanza R da un punto fisso O nello spazio a tre dimensioni. Un geometra continuerà a chiamare "sfera" un oggetto che corrisponderebbe a una "sfera deformata", una sorta di "patata". Per comprendere meglio questi concetti, procuratevi il CD Lanturlu che contiene la serie a fumetti "Le Topologicon". Ma il matematico va ancora più in là. Quando una superficie è detta "regolare", in ogni punto si può definire un piano tangente. Questo permette già di immaginare un'infinità di deformazioni della "sfera di partenza" in un'infinità di "patate", quando inoltre l'area di detta superficie può essere qualsiasi. Tuttavia, in un "universo fisico", la persona che deforma questa sfera si scontrerà con l'impossibilità di farla attraversare da sé stessa. Se tali attraversamenti o addirittura contatti sono vietati, parleremo allora di
immersioni della sfera S2
. Ma un matematico si dà tutti i diritti. Una sfera, per lui, è un oggetto "virtuale" dove gli attraversamenti di strati diventano possibili. La serie di disegni che segue mostra una sfera che si è "autoattraversata". Si chiama allora questa rappresentazione della sfera una
immersione
.
Un'immersione possiede un
insieme di intersezioni auto o di
self-intersection
(qui una semplice curva circolare). Il piano tangente deve variare continuamente. Tuttavia, guardando i disegni sopra, si vede che l'operazione gira bene una parte (rappresentata dal colore verde) dell'interno della sfera verso l'esterno. Per completare un tale rovesciamento, bisognerebbe schiacciare questa sorta di "boudin" equatoriale. La cosa sembra a priori problematica. Questo schiacciamento romperebbe la continuità del piano tangente. L'operazione comprenderebbe quindi un passo che non sarebbe un'immersione.
Un giorno un matematico americano, Stephen Smale, dimostrò che "la sfera S2 aveva una sola classe di immersione". Il corollario di questa frase enigmatica era che si doveva poter concatenare una sequenza di immersioni della sfera per passare dalla "sfera standard" alla sua rappresentazione "antipodale", cioè in cui tutti i punti fossero stati sostituiti con i loro antipodi. In breve... una sfera rovesciata, avanti e indietro. Raoul Bott era il mentore di Smale. Mentre la dimostrazione di quest'ultimo, puramente formale, sembrava inattaccabile, nessuno vedeva come realizzare l'operazione. Bott diceva sempre a Smale "mostrami come penseresti di procedere", a cui Smale, con il suo famoso capello sulla lingua, rispondeva "non ne ho la minima idea". Smale ricevette in seguito la medaglia Fields, equivalente al premio Nobel, ma per le matematiche. Nel passare, vi chiederete forse perché Nobel non avesse mai voluto creare un premio Nobel per la matematica. La risposta è semplice: sua moglie era andata via con un matematico.
Le cose rimasero così per parecchi anni fino a quando un matematico americano di nome Anthony Phillips non pubblicò nel 1967 su Scientific American una prima versione di questo rovesciamento, estremamente complessa. La seconda fu inventata all'inizio degli anni sessanta dal matematico francese (non vedente) Bernard Morin. Io fui il primo a disegnare questa serie di trasformazioni che, come ho già detto, è l'oggetto di un prossimo articolo sul sito, abbastanza lungo comunque. Comunque, questo ci porta a una conclusione accessoria. Le superfici possono essere rappresentate in modo poliedrico. Un cubo o un tetraedro possono essere considerati rappresentazioni poliedriche della sfera, nella misura in cui questi oggetti hanno la stessa
topologia
. Su questo punto, consultate la mia serie a fumetti Le Topologicon. Inoltre, si capisce che se è possibile rovesciare una sfera, è anche possibile rovesciare un cubo. La trasformazione inventata da Bernard Morin (che ho illustrato nell'articolo di gennaio 1979 di Pour la science) passa attraverso un
modello centrale
. Esiste una simmetria in questa sequenza. Questo è chiamato "il modello centrale a quattro orecchie". Ancora una volta, anticipo. Ma poiché una sfera può essere rappresentata in modo poliedrico, lo stesso vale per le successive fasi di queste trasformazioni. L'oggetto che vedete girare sulla mia pagina iniziale è quindi la versione poliedrica del modello centrale del rovesciamento della sfera, un modello che ho inventato circa dieci anni fa. L'interesse di questi modelli poliedrici è che si possono costruire con superfici piane. Si possono persino disporre in base a tagli. Diamo un'occhiata al disegno seguente (ringrazio in passaggio il mio amico Christophe Tardy, che ha prodotto gli elementi correttamente quotati).
Questo è un disegno che uscirebbe dalla vostra stampante in formato ridotto, inutilizzabile.
Per stampare questa figura su un foglio A4
è necessario farne quattro copie su carta spessa A4, due fogli di un colore, due fogli di un altro
Questo è un taglio che potete vedere in modo generale. Ma per stamparlo è preferibile che voi passiate alla pagina
taglio
. Stampatela. Poi, munito di questa copia stampata sulla carta normale della vostra stampante, andate in un fotocopiatore e realizzate quattro copie identiche di questo disegno, due su due fogli di cartoncino verde e due su fogli gialli. Sarete in grado, grazie a questo taglio, di costruire il modello centrale del rovesciamento del cubo.
Sui vostri elementi tagliati, avete delle coppie di lettere: a, b, c, d, e, f, ecc. Sufficiente operare i piegamenti portando le stesse lettere in coincidenza, quindi assemblare queste facce con nastro adesivo trasparente. I disegni seguenti mostrano come montare uno dei quattro elementi. Ecco prima come iniziare il piegamento di uno dei quattro elementi:
Ecco due di questi quattro elementi, visti da angoli diversi.
Questi si assemblano poi per dare un oggetto con una simmetria di ordine quattro o alternando elementi verdi e gialli. Per vederlo in 3D, andate a guardare le realizzazioni del signor Tardy, in "virtual reality". Il modello centrale completamente assemblato è anche prodotto in "vrml" in questa sezione. Ecco questo oggetto, visto da diversi angoli:
Non si può dire che una vista corrisponda al "sopra" e l'altra al "sotto", poiché tali denominazioni sarebbero completamente arbitrarie. Nella vista di sinistra il punto "centrale" corrisponde al "punto doppio" (dove due strati si incrociano) del modello centrale di Morin, mentre il punto centrale di destra corrisponde al "punto quadruplo" di questo stesso modello (dove quattro strati si incrociano). Ho dovuto orientare con cura l'oggetto, perché la figura di sinistra non evocasse una croce gamma. Altrimenti, in termini architettonici, questa rappresentazione poliedrica del modello centrale di Morin avrebbe potuto costituire un ottimo progetto per una casa della cultura nazionale socialista.
Ultima vista:
Un'ultima osservazione: non esiste una buona rappresentazione poliedrica del rovesciamento della sfera (alias il rovesciamento del cubo). Per "buona" si intende una serie di modelli sufficientemente espliciti che possono essere montati in forma di tagli relativamente facili, come il modello sopra. Una ricerca dovrebbe essere fatta in questo senso, che è alla portata di chiunque, eventualmente di un non matematico, di un artista, ad esempio. Più di venti anni fa, ho insegnato scultura all'École des Beaux-Arts di Aix-en-Provence, quando era ancora diretta dal mio ottimo amico Jacques Boullier. Fu in questi locali che nacque la prima rappresentazione meridionale della superficie di Boy con le ellissi, chiave per la costruzione della prima equazione implicita da parte di Apéry. Devo dire che allora ero sempre sorpreso dall'immaginazione geometrica degli studenti di arte, che spesso superava quella... dei geometri.
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