Il rovesciamento della sfera
8
dicembre
2004
pagina 4
La versione di Bernard Morin
Per scaricare la versione pdf dell'articolo del 1979 di B. Morin e J.P. Petit, apparso su Pour la Science
Il rovesciamento della sfera
( 2,8 MB )
Partiamo da una sfera che presenta la sua faccia grigia verso l'esterno e la faccia rosa verso l'interno.
In
b
e
c
si avvicinano i poli. Poi le superfici si attraversano secondo una "catastrofe del gomito". Si crea una curva chiusa di autointersezione.
In basso a destra tre mezze sezioni permettono di comprendere meglio la configurazione ottenuta. A questo stadio la sfera assomiglia a un certo tipo di "gommone circolare", con un "tubo" e un "pavimento" a doppia parete.
Prima fase: una "catastrofe del gomito". Creazione di una curva chiusa di autointersezione
Seconda operazione: nuova catastrofe del gomito, creazione di una seconda curva chiusa.
Seconda creazione di una curva chiusa di autointersezione.
Per fare ciò il "gommone" si è piegato, con un movimento di torsione, permettendo di portare due parti del "tubo", diametralmente opposte, in contatto. La figura seguente è il risultato di due catastrofi che portano alla creazione di "fette di arancia".
Dopo la creazione di due "fette di arancia"
A sinistra si sono effettuate delle sezioni sul modello. Al centro si vede come i due cilindri, la cui sezione localmente ricorda la lettera greca "gamma", si sono attraversati. Ricordiamo che la catastrofe di creazione delle "fette di arancia" avviene tagliando un "tronco" con due piani che formano un diedro. Ogni struttura cilindrica la cui sezione è a "gamma" contiene sia la sezione arrotondata sia il diedro. Osservate attentamente la figura
i
. In
j
abbiamo disegnato l'intero insieme di autointersezione. La porzione di curva chiusa più grande proviene dalla prima "catastrofe del gomito", che aveva trasformato la sfera in "gommone". Dopo la creazione delle due fette di arancia si ottiene un insieme più complesso di cui
j
è un sottoinsieme. In
j
si vede che questa struttura può essere paragonata all'assemblaggio di due "fette di arancia" su due spigoli non adiacenti di un tetraedro.
Tutto questo un giorno sarà molto più semplice da comprendere quando riuscirò a produrre delle animazioni. Tecnicamente non ci sono problemi a priori. È solo questione di tempo. Poche persone riescono non solo a vedere nello spazio, cioè a leggere questo codice basato su linee, tratteggi, colori, ombre e riflessi, ma anche a concatenare mentalmente trasformazioni immaginando il movimento suggerito. Spero un giorno di avere il tempo per fare tutte queste cose. Osserviamo in passaggio che si potrebbero utilizzare modelli poliedrici, come ho fatto per mostrare come si possa trasformare una Crosscap in una Superficie di Boy. È questo il futuro. Ma questi modelli vanno inventati. Più avanti troverete la versione poliedrica ottimizzata del modello centrale di questa trasformazione immaginata da Bernard Morin (ricordiamo che è cieco!), con la modalità per costruirlo autonomamente a partire da un taglio.
Perché non ho portato avanti queste cose oltre? Direi: per mancanza di "prospettive". Non esistono riviste di matematica che accettino di pubblicare lavori di questo tipo. Nel 1975-78 abbiamo potuto farlo attraverso alcune note nei Comptes Rendus de l'Académie des Sciences di Parigi, che probabilmente non sono state lette da molti. Ma lo abbiamo fatto perché l'academico André Lichnérowicz si interessava personalmente a questi lavori. È oggi deceduto. Poiché questi lavori erano già stati portati a compimento nel 1975, sarebbe stato auspicabile produrre un film d'animazione a partire dai miei disegni. Avendo lavorato nel campo dell'animazione, ero pienamente in grado di coordinare un'impresa del genere. Ma è stato impossibile trovare finanziamenti al Cnrs, e alla fine è stato il matematico americano Nelson Max, ispirandosi a dei modellini costruiti dal suo collega Charles Pugh (della stessa versione del rovesciamento della sfera), e utilizzando un potente computer, a riuscire a produrre il primo film. Ma non è né la prima né l'ultima volta che dei francesi, non ricevendo alcun riscontro ai loro sforzi, si trovano così superati da colleghi stranieri meglio organizzati e meglio sostenuti.
Passiamo alla terza fase, la più difficile da comprendere.
Preparazione di due catastrofi "del pantalone"
Nella figura
k
si distinguono chiaramente i due "piedi del pantalone", il cui dettaglio è mostrato in primo piano in
k
'. La freccia bianca indica il passaggio "tra le gambe". Questa trasformazione è veramente difficile da comprendere. Ho aggiunto il disegno
m
per cercare di essere meglio compreso. In
l
ho rappresentato con tratteggi la curva di autointersezione, visibile nel suo complesso in
l
'. Un passaggio (quello percorso dalla freccia bianca) si chiuderà. Questo movimento di chiusura avviene insieme all'innalzamento di una parte della curva di intersezione, in due punti. Questi tratti di curva arriveranno a contatto, ciascuno su una delle linee appartenenti a delle "fette di arancia". Quando il contatto avverrà, si attuerà la chirurgia. La difficoltà deriva dal fatto che, dopo aver visto le quattro catastrofi elementari nella pagina precedente, bisogna essere in grado di trasporle da ogni angolazione, girandosi il collo, se necessario. In
n
abbiamo rappresentato il momento critico in cui avviene la chirurgia (la "situazione mediana" della trasformazione) e in cui cambia il modo di collegamento dei tratti di curva. Si sa che questa catastrofe "del pantalone" chiude un passaggio e ne apre un altro. Il passaggio iniziale è indicato dalla freccia bianca. Ma ne esiste un altro che si vedrebbe dallo stesso angolo ruotando il modello di 180° attorno a un asse verticale. Queste frecce ne formano una sola. Prima che queste catastrofi avvengano, è ancora possibile muoversi in questo "gommone ripiegato". Quando queste catastrofi avranno effetto, questo passaggio non sarà più possibile. Al contrario, si saranno creati due nuovi passaggi. Ma dove? Quali parti dello spazio sono coinvolte? Questi passaggi metteranno in comunicazione l'interno delle fette di arancia con l'esterno. In
l
', vedete queste fette di arancia. Passiamo alla fase successiva.
Chiusura del passaggio. Verso una doppia situazione critica
In
o
abbiamo rappresentato le due catastrofi "del pantalone" in due stadi diversi.
Uno dei passaggi è completamente chiuso. Siamo in una situazione critica, subito prima che gli archi di curva cambino il loro modo di collegamento. A destra (dettaglio nella figura
o
') il passaggio è solo in fase di chiusura. Così l'aspetto della curva di autointersezione
o
" è diverso a destra e a sinistra. Nelle figure
p
,
p
' e
p
" la criticità (situazione "mediana" della trasformazione) è raggiunta da entrambi i lati. Nella tavola seguente le chirurgie hanno già avuto effetto. I tubi che si vedevano in via di formazione nella figura
p
", che mettevano in comunicazione le "fette di arancia" con l'esterno, sono ora completati:
Le due "catastrofi del pantalone" hanno avuto effetto. I passaggi (freccie bianche) sono aperti.
Ora le cose proseguiranno...