Il Ribaltamento del Toro
9 dicembre 2004
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Un risultato di questi lavori: il ribaltamento banale del toro
Se è risultato così complicato ribaltare una sfera, al contrario, partendo da questa situazione, è estremamente facile ribaltare un toro. Si può persino dire che sia alla portata di un bambino di dieci anni. In fondo, un toro non è altro che una sfera con un manico. Si procede come fatto per scambiare i due punti cuspidali di una Crosscap, cioè si ribalta la sfera senza porre domande. Il manico si trova allora all'interno. Diremmo che questo "ponte" si trasforma in "passaggio sotterraneo". Ora, tutti gli ingegneri dei lavori pubblici sanno che qualsiasi passaggio sotterraneo, in una rete stradale, può essere trasformato in un punto tramite un'omotopia regolare.
Quando la sfera è ribaltata, basta allora infilare un dito in questo passaggio e tirare con forza. Vedere i disegni seguenti.
Il ribaltamento banale del toro
Sebbene ciò si veda abbastanza male in questo disegno, abbiamo rappresentato in a uno dei cerchi generatori del toro; questi costituiscono una delle due famiglie di cerchi che permettono di mappare il toro senza creare singolarità nella griglia (vedi il Topologicon). Quando il manico è stato concentrato in una regione della sfera con manico b, la curva rimane sempre visibile. Quando la sfera con manico è stata ribaltata, in c, e l'operatore infila il dito nel passaggio, questa curva circonda il dito. Quando estrae il manico, in d, si vede (immagine finale e, quella del toro ribaltato) che questo cerchio è diventato il... cerchio della gola della superficie. Così, partendo da un toro mappato con una doppia rete di cerchi meridiani e cerchi paralleli (il cerchio della gola appartenente a questa seconda famiglia), si osserva che l'operazione di ribaltamento scambia queste due famiglie. C'è qualcosa di magico in questo, e devo ammettere che supera la mia comprensione personale. Ognuno dovrebbe imparare a conoscere i propri limiti. Personalmente, penso che in certe procedure mentali il cervello dovrebbe essere dotato di un fusibile.
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