Rivoluzione non banale del toro pagina 6

Il Rivolgimento del Toro

5 dicembre 2004

pagina 6

Il rivolgimento non banale del toro

J.P. Petit:

Comptes Rendus Académie des Sciences.

tome 293, sessione del 5 ottobre 1981, serie 1 pp. 269-272

Mi limiterò a presentare
la successione dei disegni, senza commentarli.

Rivolgimento non banale del toro. Prima parte
della trasformazione

Rivolgimento non banale del toro. Seconda parte della
trasformazione

Quando si giunge alla figura

si vede che è ora facile far coincidere la struttura grigia con quella rosa, trasformando questo oggetto in un rivestimento a due strati della bottiglia di Klein.

Il rivolgimento avviene allora per scambio delle falde in vista. Di seguito, lo stesso disegno con un codice cromatico.

Rivestimento a due strati della bottiglia di Klein, con codice cromatico

(questo disegno non fa parte del mio rapporto annuale al CNRS. Lo si troverà nel Topologicon)

Le diverse famiglie di tori.

Ciò che Stephen Smale dimostrò nel 1957 fu che esisteva una sola famiglia di immersioni della sfera e che tutte queste potevano essere collegate tra loro tramite un'omotopia. Esse formavano un gruppo il cui elemento neutro consisteva nel lasciare l'oggetto invariato. Ci si chiese se fosse possibile lo stesso per il toro. I matematici Ioan James e Emery Thomas dimostrarono che le immersioni del toro si suddividevano in quattro continenti tra i quali era impossibile passare mediante un'omotopia regolare.

Le quattro famiglie di tori

Il "toro standard", disegnato al centro della pagina, appartiene alla stessa famiglia dell'oggetto rappresentato in

. Questo ho mostrato di passaggio nella versione del rivolgimento del toro che ho inventato nel 1980. La famiglia menzionata in a rappresenta un toro che ha subito un avvolgimento di 360°. Assomiglia al toro standard, ma i due sono definiti in base al loro sistema di cartografia, utilizzando due famiglie di curve. Nel toro standard si usano due insiemi di cerchi assimilati a meridiani e paralleli. Nel toro a si dovrebbe completare la famiglia di cerchi attaccati con una seconda famiglia, che si avvolge in senso inverso. Si può dimostrare che è impossibile, tramite un'omotopia regolare, portare la maglia di questo toro a in coincidenza con la maglia del toro standard (meridiani più paralleli). È in questo senso che sono oggetti diversi. Ovviamente, tutti questi oggetti possono configurarsi come rivestimento a due strati della bottiglia di Klein.

La potenza degli strumenti del geometra è
quella di poter prevedere ciò che è possibile e ciò che non lo è.
Trasformare il toro standard nel toro della figura

: sì.
Passare da

: no.

Questo evita di perdere tempo inutilmente e soprattutto spinge a cercare cose affatto non evidenti, come il rivolgimento di una sfera. È lo stesso in tutte le scienze. A volte le persone passano accanto a percorsi fecondi per anni, o perfino secoli, semplicemente perché li ritenevano impossibili da realizzare. Ho dedicato alcuni anni della mia vita a costruire una teoria della soppressione delle onde d'urto attorno a un oggetto che si muove a velocità supersonica in un gas, utilizzando un campo di forze di Laplace, la "MHD". Un dottorando ha addirittura fatto la sua tesi su questo argomento sotto la mia direzione e abbiamo pubblicato questi lavori in diverse riviste con comitato di lettura e convegni scientifici. È un tema che inizia appena a emergere, trent'anni dopo. Si sospetta che gli americani dispongano di aerei ipersonici in grado di volare a Mach 10 senza generare onde d'urto (e in particolare senza subire le formidabili sollecitazioni termiche legate alla ricompressione dell'aria dietro questi "bang". È il famoso mito dell'Aurora, velivolo che si muove all'altitudine in cui si producono le aurore boreali, tra i 80 e i 150 km di altitudine. Aurora è anche la proiezione dei futuri lanciatori spaziali che, appoggiandosi sull'aria, saranno molto più economici delle razzi del CNES. In Francia è stato impossibile avviare ricerche di questo tipo (ho avuto queste idee nel 1975), perché le persone, in particolare al CNRS, le ritenevano totalmente assurde. Il risultato è un ritardo di trent'anni rispetto agli Stati Uniti, a mio parere totalmente irreversibile.

La "sigaretta da tabacco"

Per essere completo, bisogna citare le versioni del rivolgimento della sfera che hanno come oggetto centrale una "sigaretta da tabacco". Era un oggetto comune quando ero giovane, ma oggi non si incontra più. Il primo a disegnare queste sequenze fu Georges Francis. Negli ultimi anni lavoro su una versione poliedrica di queste, che ha già prodotto un modello centrale abbastanza bello. Ma per mostrarvelo, dovrò riuscire a riprenderlo in mano. Presto, spero, perché è uno degli oggetti più affascinanti che abbia mai creato.

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