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Geodetiche.
...Nel seguito trattiamo le superfici a 2 dimensioni. Per inciso, perché una superficie è un oggetto a 2 dimensioni? Perché servono due parametri per localizzare un punto su di essa. Esempio: longitudine e latitudine sulla Terra.
...Sono cose che capirai meglio con le tue mani che con la tua testa. Prova a trovare alcuni oggetti prima di iniziare a leggere questo testo. Avrai bisogno di:
- Carta, sia rigida che flessibile.
- Nastro adesivo colorato.
- Forbici
...Da ora in poi, con questo tipo di nastro adesivo colorato, puoi realizzare nastri di larghezza costante.
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...Prendi qualsiasi superficie, ad esempio la carrozzeria della tua auto. Puoi incollare il nastro adesivo su di essa, evitando accuratamente le pieghe. Otterrai così le geodetiche di questa superficie. Esistono infinite geodetiche sulla carrozzeria della tua auto.
Puoi farlo su una lastra piana. Otterrai così le "rette del tuo piano".
Le "rette" non sono altro che geodetiche particolari, quelle del piano.
(7)
Con tre geodetiche, formi un triangolo su questa "superficie euclidea". La somma dei tre angoli è allora di 180°.
Posiconi.
...Ora costruiamo un "posicono", un tipo di "cono positivo". Prendi semplicemente un pezzo di carta, una superficie piana, e taglia un settore con le tue forbici. Poi incolla le linee SA e SB insieme, come indicato nella figura seguente.
(8)
...Ora, con il nostro nastro adesivo, tracciamo tre linee geodetiche su questa superficie, come indicato nella figura (9). Possiamo misurare la somma dei tre angoli e troviamo due casi:
Se il triangolo non contiene il vertice S di questo posicono, la somma resta di 180°.
Se il triangolo contiene il vertice, qualunque sia la sua dimensione, piccola o grande, la somma è: 180° + q .
(9)
Per capire meglio, puoi tagliare il tuo posicono e metterlo piatto. Allora l'angolo q appare chiaramente.
(10)
...Puoi facilmente verificare che le due rette AH e quindi possiamo facilmente verificare che le rette SH e SH' formano un angolo uguale a q .
...Un cono è una superficie che puoi mettere piatta dopo aver tagliato lungo una linea che passa per il vertice. In francese diciamo che si tratta di una superficie "sviluppabile", ma non trovo la parola inglese nel mio dizionario. È la stessa cosa per un cilindro.
(11)
...Puoi tracciare linee geodetiche su un cilindro, con il tuo nastro adesivo. Ma, dopo aver effettuato il tuo taglio e aver messo il cilindro piatto, le tue linee geodetiche diventano... rette.
Puoi anche arrotolare tali superfici (cono, cilindro) su un piano. Figura seguente.
(12)
...Puoi tracciare una geodetica su un cono o su un cilindro con l'inchiostro, e poi arrotolarlo su un piano, utilizzandolo come matrice di stampa. Sul tuo piano otterrai allora delle rette.
...Inversamente, se tracci delle rette sul tuo piano e arrotoli il cono o il cilindro su di esso, prima che l'inchiostro si asciughi, stamperai delle geodetiche su di esso.
Versione originale (inglese)
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Geodesics.
...In the following we deal with 2d-surfaces. By the way, why is a surface a 2d object ? Because you need two parameters to localize a point on it. Example : longitude and latitude on the Earth.
...They are things that you will better understand with yours hands than with your head. Try to find some things before starting to read this text. You need :
- Paper, both firm and flexible.
- Coloured sticky tape.
- Scissors
...Hereafter with this kind of coloured sticky tape you can make constant width strips.
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...Take any surface, for example the coachwork of your car. You can glue your sticky tape strip onto it, carefully avoiding creases. Then you get geodesics of this surface. They are an infinity of it on the coachwork of your car.
You can do it on a flat plate. The you get "straight lines of your plane".
"Straight lines" are just peculiar geodesics, those on the plane.
(7)
With three geodesics you make a triangle on this "euclidean surface". Then the sum of the three angles is 180°.
Posicones.
...Now, let us build a "posicone", some sort of a "positive cone". Just take a piece of paper, a flat surface, and cut a sector with your scissors. Then put the lines SA and SB together, as indicated on next figure.
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...Now, with our sticky tape, we draw three geodesic lines on that surface, as shown on figure (9). We can measure the sum of the three angles and we find two cases :
If the triangle does not contain the summit S of this posicone, the sum is still 180°.
If it contains the summit, whatever it is arranged around it, small or large, the sum is : 180° + q .
(9)
To understand, you can cut your posicone and put it flat. Then your q angle appears clearly.
(10)
...You can easily check that the two straight lines AH and we can therefore verify easily the straight lines SH and SH' form and angle equal to q .
... A cone is a surface that can be put flat, after you cut along a line containing the summit. In french we say that it is a "développable" surface, but I don't find the english word in my dictionary. Same thing for a cylinder.
(11)
...You can draw geodesic lines on a cylinder, with your sticky tape strip. But, after you manage your cut, and put your cylinder flat, your geodesic lines become... straight lines.
You can also roll such surfaces ( cone, cylinder ) on a plane. Next figure.
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...You can draw a geodesic on a cone or on a cylinder with ink, and then roll it on a plane, using it as a printing matrix. Then, on your plan, you will print straight lines.
...Conversely, if you draw straight lines on your plan and roll the cone or the cylinder on it, before the ink gets dry, you will print geodesics on it.