a103
| 3 |
|---|
(positiva) Curvatura.****
Quando disegniamo un triangolo, utilizzando il nostro nastro adesivo, su un piano, la somma dei valori degli angoli è di 180°. Si tratta di una superficie euclidea. Diremo che non contiene alcuna curvatura. È veramente una superficie piana. La somma degli angoli del nostro triangolo è la somma euclidea. Quando abbiamo disegnato il triangolo sul nostro cono, il nostro "posicone", e quando il vertice S era all'esterno, la somma era ancora di 180°. Al contrario, quando il vertice era all'interno, la somma era di 180° più l'angolo q (l'angolo di taglio che abbiamo realizzato per costruire il nostro posicone, vedere figura (8)).
Questo vertice è un punto particolare della superficie, un punto conico, e diremo che contiene una certa curvatura (positiva) concentrata. È un punto di curvatura concentrata (positiva).
Possiamo ora effettuare due tagli, corrispondenti agli angoli q1 e q2. Vedi figura (13). Otteniamo così una superficie strana che possiede due punti conici S1 e S2. Vedi figura (14).
(13)
(14)
Ora puoi disegnare quanti triangoli geodetici vuoi, corrispondenti a diversi casi.
-
Se non contengono alcun vertice conico, la somma degli angoli è di 180°.
-
Se contengono il vertice S1, la somma è di 180° più q1.
-
Se contengono i due vertici, q1 e q2, la somma è di 180° + q1 + q2
(15)
Immagina ora che tu possa costruire un gran numero di piccoli posiconi e incollarli insieme, come indicato nella figura (16). Ogni piccolo posicone corrisponde a un angolo elementare Dq. Puoi disporre questi piccoli coni in modo regolare. Intendo dire: la distanza tra un vertice e i vertici dei coni vicini sarebbe quasi costante ovunque.
(16)
Se i tuoi piccoli coni diventano sempre più piccoli, così come l'angolo elementare associato Dq, costruirai una porzione di superficie regolare con densità di curvatura costante.
Una sfera è una superficie con densità di curvatura locale costante. In altre parole, si dice che la sfera è una superficie a curvatura costante.
Se disponi i tuoi piccoli coni in modo diverso, puoi costruire una superficie a densità di curvatura locale variabile. Per esempio, un uovo. L'uovo di una gallina è una superficie a densità di curvatura locale variabile. Ma una pallina da ping-pong è una superficie a densità di curvatura costante. È così che la gallina riconosce il suo uovo e fa la differenza con la pallina da ping-pong. Disegnando geodetiche con il nastro adesivo, eccetera...
In realtà, la gallina non disegna fisicamente le geodetiche sull'oggetto. Lo fa mentalmente.
(17)
Nella relatività generale, si identifica la densità di massa r con la curvatura locale.
Certo, il terreno della relatività generale non è una superficie a 2 dimensioni. Puoi immaginare un'iper-superficie a 3 dimensioni. Puoi immaginare un'iper-sfera a 3 dimensioni. Ma chi può immaginare un'iper-superficie a 4 dimensioni?
Inoltre, la curvatura a 4 dimensioni dell'iper-superficie a 4 dimensioni chiamata "universo" ha caratteristiche speciali che non esploreremo qui. Questo mostra che i modelli didattici hanno i loro limiti. Ma sono utili per stimolare l'immaginazione e aprire la mente verso mondi un po' diversi.
Versione originale (inglese)
a103
| 3 |
|---|
(positive) Curvature.****
When we draw a triangle, using our sticky tape, on a plane, the sum of the angles' value is 180°. This is an euclidean surface. We will say that it contains no curvature. It is really a flat surface. The sum of the angles of our triangle is the euclidean sum. When we drew the triangle on our cone, our "posicone", and when the summit S was outside it, the sum was still 180°. Oppositely, when the summit was inside, the sum was 180° plus the angle q (the cut we managed to build our posicone, see figure (8)).
This summit is a peculiar point of the surface, a *conical *one and we will say that it contains some (positive) concentrated curvature. Its a concentrated (positive) curvature point.
Now we can manage two cuts, corresponding to angles q1 and q2 . See figure (13). Then we get some strange surface with two conical points S1 and S2. See figure (14).
(13)
(14)
Now you can draw as many geodesic triangles you want, correspnding to different cases.
-
If they contain no conical summit, the sum of the angles is 180°.
-
If they contain the summit S1 , the sum is 180° plus q1.
-
If they contain the two summits, q1 and q2, the sum is 180° + q1+ q2
(15)
Imagine now that you can make a large number of tiny posicones and glue them together, as shown on figure (16). Each tiny posicone corresponds to an elementary angle Dq . You can arrange these mini-cones in a regular way. I mean : the distance between a summit and summits of the neighbours' mini cone would be almost constant everywhere.
(16)
If your mini-cone get smaller and smaller, as well as their associated elementary angle Dq , you will build a portion of regular surface with constant curvature density.
A sphere is a surface with constant local curvature density. In a simpler way, on says that the sphere is a constant curvature surface.
If you arrange your mini-cones differently, you can build a variable local curvature density surface . For an example an egg. The egg of a hen is a variable local curvature density surface. But a ping-pong ball is a constant curvature density surface. That's so that the hen recognizes its egg and makes the difference with the ping-pong ball. It draws geodesics with sticky tape, and so on...
In fact, the hen does not physically figure geodesics on the object. It does it mentally .
(17)
In general relativity one identifies mess density r to local curvature.
Of course the general relativity playground is not a 2d surface. You can imagine a 3d hypersurface. You can imagine a 3d hypersphere. But who can imagine a 4d hypersurface ?
By the way, the 4d curvature of the 4d hypersurface called "universe" has special features we are not going to explore here. This shows that didactical models are limited. But they are good to stimulate the imagination and to open the mind towards somewhat different worlds.