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**Immagine didattica di un corpo celeste **(stella, pianeta, uovo denso)
** **Una stella come il Sole è una concentrazione di massa. Intorno: il vuoto, o una porzione di spazio che è "quasi vuoto", poiché contiene un gas molto rarefatto e fotoni. In 2D, l'immagine didattica corrispondente è un cono ottuso (posi):
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Puoi realizzarla con due componenti. Una porzione di sfera e una porzione di cono (posi), incollate insieme. La porzione di sfera è una superficie a curvatura costante. La porzione del cono è una superficie piana, una superficie a curvatura locale nulla. Questo ultimo esempio è una superficie euclidea. La porzione di sfera è una superficie non euclidea (una superficie riemanniana).
Questo è l'immagine didattica in 2D di un oggetto a densità costante, circondato dal vuoto.
Come fissare insieme i due elementi per garantire la continuità del piano tangente? È semplice. La tua porzione di cono proviene da un cono il cui taglio corrispondeva a un angolo q. La tua porzione di sfera è supposta costruita con mini-coni (posi) elementari, in modo che contenga una certa "quantità di curvatura angolare" q. Se gli angoli sono uguali, il piano tangente sarà continuo.
Ma come misurare la quantità di curvatura contenuta in una porzione data di una sfera?
Curvatura totale.
Possiamo costruire una superficie collegando coni elementari (posi). Possiamo organizzarla per ottenere una superficie a densità di curvatura costante. Allora sappiamo che la superficie è una porzione di sfera. Se aggiungiamo sempre più coni (posi) elementari, la sfera diventerà completa. Contiene una certa quantità di curvatura angolare. Tutte le sfere contengono la stessa quantità. La curvatura angolare totale di una pallina da ping-pong e la curvatura angolare totale della Terra sono uguali, anche se hanno pesi molto diversi.
Per inciso, la curvatura totale di un uovo è la stessa, poiché hanno la stessa topologia. In linea di principio, le galline fanno uova con topologia sferica. Personalmente non ho mai visto un uovo con topologia torica. Sarebbe corrispondente a un serpente strano, senza testa né coda, o qualcosa del genere.
Torniamo alle palline da ping-pong, alle normali sfere. Se questa superficie ha una densità angolare locale costante, ciò significa che la quantità di curvatura angolare (la somma degli angoli elementari Dq) sarà proporzionale alla superficie. Vedi figura 19. Questa superficie può essere limitata da qualsiasi tipo di bordo. Ma possiamo usare le geodetiche della sfera. Chiamiamo S la superficie della sfera e s la superficie grigia, all'interno del triangolo.
(19)
Sopra abbiamo visto che la deviazione (positiva) rispetto alla somma euclidea (180°), per un triangolo disegnato su una superficie, dipende dal numero di vertici del cono situati all'interno. La somma era 180° più tutti gli angoli corrispondenti a quei vertici chiusi.
Inversamente, se misuro la deviazione rispetto alla somma euclidea, posso misurare la quantità di curvatura contenuta all'interno del triangolo.
Una geodetica di una sfera è chiamata un cerchio massimo della sfera. Vedi figura (20). I meridiani, l'equatore, sono cerchi massimi della sfera.
(20)
Possiamo dividere la nostra sfera in otto pezzi di area uguale. Vedi figura (21). Otteniamo otto triangoli i cui angoli valgono tutti 90°. La deviazione rispetto alla somma euclidea è quindi di 90°. Ogni triangolo contiene una curvatura angolare pari a 90°. In conclusione, la curvatura totale, la curvatura angolare totale della sfera è 8 × 90° = 720° = 4π.
(21)
Ogni triangolo grigio contiene π/2.
Ti piacciono le superfici curve, la geometria delle superfici di Riemann?
Se torniamo al nostro cono ottuso, vediamo che la curvatura angolare è contenuta all'interno del bordo circolare, nella zona a densità di curvatura costante. Il fianco, il muro del cono, non è una superficie limitata. Puoi estenderlo all'infinito se lo desideri. La quantità di curvatura angolare non dipende dal perimetro del bordo, né dall'area della porzione di sfera. Quest'ultima può essere ridotta. Vedi figura (22). Anche ridotta a un semplice punto, conterebbe la stessa quantità di curvatura angolare. Per questo diciamo che un punto conico è un punto di curvatura concentrata. Inversamente, possiamo costruire superfici lisce a partire da un insieme di punti conici.
La materia è fatta di atomi. Gli atomi possono essere considerati come oggetti puntuali. Sono "punti di curvatura concentrata" nello spazio a 3D.
L'aria che respiri è un mezzo a densità costante. È composta da molecole, atomi. È un insieme di punti di curvatura concentrata, collegati da porzioni euclidee dello spazio. Tu lo assimili a un mezzo a curvatura costante.
La prossima volta che respirerai, pensaci.
(22)