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Negaconi.
Costruiamo ora ciò che chiameremo un "negacono". Per costruire un posicono, abbiamo rimosso un settore da un piano. Qui aggiungiamo un settore, corrispondente a un angolo q:
(30)
Su questa superficie possiamo tracciare linee geodetiche, con il nostro nastro adesivo, e formare un triangolo con tre di esse. Se misuri la somma degli angoli, noterai che è uguale a 180° - q. Diremo che definisce una concentrazione di curvatura negativa.
Esistono oggetti con curvatura negativa in casa tua. Alcuni sedili, ad esempio: (30 bis)
Se prendiamo un disco, otteniamo la figura (31):
(31)
Certo, se il triangolo formato dalle tre geodetiche non contiene il vertice S, che contiene tutta la curvatura angolare (negativa), la somma sarà quella della geometria euclidea: 180°.
La sella da cavallo.
** **Puoi costruire un gran numero di negaconi elementari
con angolo - Dq e unirli. Puoi farlo per ottenere una distanza quasi costante tra due vertici adiacenti. Otterresti così una superficie con densità di curvatura negativa costante: una sella da cavallo. Ma questa superficie non si chiuderà mai.
In generale, il geometra la chiama una superficie con curvatura negativa costante. (32)
"Negacono ottuso".
In una sezione precedente, utilizzando una superficie con densità di curvatura positiva costante (una porzione di sfera) e una porzione di posicono, abbiamo costruito un posicono ottuso.
In modo simile, possiamo costruire ciò che chiameremo un negacono ottuso. Dobbiamo unire una sella da cavallo a una porzione di negacono, lungo il loro bordo circolare comune. Per garantire la continuità del piano tangente, la curvatura (negativa) contenuta nella sella da cavallo deve essere uguale alla curvatura negativa coinvolta nella costruzione del negacono.
È relativamente facile costruire la porzione di negacono richiesta! (33)
Nota: Come il posicono, il negacono può essere utilizzato come matrice per la stampa. Ma è difficile vedere come arrotolare un negacono su un piano piatto. È quindi più semplice arrotolare il piano su una matrice con curvatura negativa.
Gutenberg ha inventato la tecnica di stampa. Un disegno in rilievo è inciso su un piano. Successivamente si applica l'inchiostro e si preme su un piano.
In seguito, la matrice di stampa è stata trasformata in un cilindro, per la stampa dei giornali (stampante rotativa).
Ma nessuno, a mia conoscenza, ha mai utilizzato la stampante conica.
In ogni caso, il punto importante è mettere le due superfici in contatto, indipendentemente dal metodo. Sia che sposti la matrice, sia che arrotoli il foglio (la superficie piana).
Come mostra la figura (34), puoi utilizzare una matrice conica per stampare qualcosa su un piano. Alcuni giornali conici, messi piatti. (34)
Non è definitivamente certo che nessuno lo utilizzerà mai. Supponiamo che tu voglia produrre abiti, con un design particolare corrispondente a una simmetria conica. Supponiamo che tu debba produrne migliaia. Potresti incidere il motivo su una matrice conica, quindi utilizzarla per stampare sul tessuto. Il cliente potrebbe comprarlo e realizzare la "gonna conica", essendo sicuro che il motivo ottenuto sarebbe corretto ovunque.
Nella figura (35) è mostrato ciò che si ottiene stampando con una matrice a curvatura negativa. A destra, un negacono messo piatto. (35)
Nella figura (36) è mostrato come unire la sella da cavallo alla porzione di negacono.
Nel passare, potresti chiederti:
- Come posso misurare la curvatura angolare negativa contenuta nella mia sella da cavallo?
In alcune parti del Texas, vicino ai dipartimenti di matematica, quando si compra una sella da cavallo, la curvatura angolare corrispondente è indicata sul biglietto allegato. In caso contrario, confrontando il perimetro del bordo o l'area con il valore euclideo calcolato dal raggio di questo disco a curvatura negativa, puoi dedurre la corrispondente curvatura angolare. Considera questo come un esercizio fruttuoso. (36)
(37)
Ora possiamo utilizzare il nostro nastro adesivo, disegnare le geodetiche e proiettarle su un piano, come indicato nella figura (38).
(38)
Come al solito, questa proiezione sul piano si riferisce al nostro "mondo mentale", alla parete della caverna di Platone. L'aspetto della geodetica proiettata significherebbe per noi che una forza repulsiva agisce sugli oggetti di riferimento, ad esempio una forza gravitazionale repulsiva. In realtà, tutto ciò dovrebbe derivare dalla geometria sottostante.
Versione originale (inglese)
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**Negacones.
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Let us build now what we will call a "negacone". To build a posicone, we removed a sector from a plane. Here we add one, corresponding to an angle q :
(30)
On this surface we can draw geodesic lines, with our sticky tape and make a triangle with three of them. If you measure the sum of the angles, you will see that it is 180°-q . We will say that it defines a negative curvature concentration.
There are objects with negative curvature in your home. Some seats, for example : (30 bis)
If we take a disk we get the figure (31) :
(31)
Of course, if the triangle composed by the three geodesics does not contain the summit S, which contains all the (negative) angular curvature, the sum will be the euclidean sum : 180°.
The horse saddle.
** **You can build a great number of elementary negacones
with angle - Dq and join them. You can do that in order to have an almost constant distance between two neighbour summits. Then you would build a constant negative curvature density surface : a horse saddle. But this surface will never get closed.
In general the geometer call it a *constant negative curvature surface.
*(32)
"Blunt negacone".
In a precedent section, using a constant positive curvature density surface (a portion of a sphere) and a portion of posicone we built a blunt posicone.
Similarly we can build what we will call a blunt negacone. We have to join a horse saddle to a portion of negacone, along their common circular border. In order to manage the continuity of the tangent plane the (negative) curvature contained in the horse saddle must be equal to the negative curvature involved in the negacone building.
It is relatively easy to build the required portion of a negacone !
(33)
NB : As the posicone, the negacone can be used as a printing matrix. But we can hardly see how to roll a negacone on a flat plane. It is therefore easier to roll the plane on a negative curvature matrix.
Gutemberg invented the printing technique. A design in relief is carved on a plane. Then one puts ink on it and presses it onto a plane.
Later the printing matrix was converted into a cylinder, for newspaper printing (rotative press).
But no one, as far as I know, used the conical press.
In all cases, the important point is to put the two surface into contact, whatever one does. Either you move the matrix, or you roll the paper (the plane surface).
As shown on figure (34) you can use a conical matrix to print something on a plane. Some conical newspaper, put flat.
(34)
It is not definitively sure that nobody will use that, someday. Suppose you want to produce robes, with a special design, corresponding to conical symmetry. Suppose that you have to produce thousands of robes like that. You could engrave the native design on a conical matric, then use it to print on the material,or the fabric. The customer could buy it and make the "conical" robe, being sure that the obtained patter would be good, all over.
On figure (35) is what you get if you print with a negative curvature matrix. On the right a negacone put flat.
(35)
On figure (36) it shows how to join the horse saddle to the portion of negacone.
By the way, you may ask :
- How can I measure the negative angular curvature contained in my horse saddle ?
In some places in Texas, close to mathematical departments, when you buy a horse saddle the corresponding angular curvature is indicated on the joined ticket. If not when you compare the perimeter of the border, or the area,to the euclidean value, calculated from the radius of this regative curvature disk, you can deduce the corresponding angular curvature. Consider this as a fruitfull exercise.
(36)
(37)
Now we can use ou sticky tape, draw geodesics and project it on a plane, as shown on figure (38).
(38)
As usual this plane projection refers to our "mental world", the wall of Plato's cavern. The aspect of the projected geodesic would mean for us that some repulsive force is acting on our reference objects, for example a *repulsive gravitational force *. In fact, all that should come from underlying geometry.