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Geometrie coniugate.****
Possiamo ora associare un posicono ottuso e un negacono ottuso. Di fronte a vicenda: una porzione di sfera e una sella di cavallo, con curvatura angolare opposta + q e - q. Abbiamo una corrispondenza punto per punto (mappatura iniettiva). Nella figura (39) è stata rappresentata una coppia di punti coniugati.
Chiamiamo geometrie coniugate due strutture geometriche collegate punto per punto, tali che le densità locali di curvatura siano opposte. È il caso della porzione di sfera e della sella di cavallo corrispondente. Lo stesso vale per la porzione di posicono, di fronte a una porzione di negacono. Le loro densità locali di curvatura angolare sono nulle. (39)
La curvatura positiva, nel piego F, è interamente contenuta nella porzione di sfera. La porzione di posicono è una superficie euclidea, che è "localmente piana". Nell'altro piego F*, il piego coniugato, tutta la curvatura (negativa) angolare è contenuta nella sella di cavallo. All'esterno, la porzione di negacono è "localmente piana", non contiene alcuna curvatura.
Notate che, dato un piego, è possibile costruire l'altro.
Relatività generale.
L'idea fondamentale è che il contenuto locale di "materia-energia" determina la geometria locale, plasmando l'iper-superficie spazio-tempo. Notate che la parola composta "materia-energia", che mostra che qualsiasi contenuto determina la geometria dell'universo: materia* e *radiazione. In una sezione precedente abbiamo accennato al fatto che i fotoni contribuiscono alla curvatura (positiva). Oggi la contribuzione del fondo cosmologico è trascurabile. La contribuzione della materia alla geometria è dominante. Ma, nel lontano passato, la situazione era invertita: nel Modello Standard, quando t < 500.000 anni.
Esaminiamo un modello didattico per comprendere i concetti fondamentali della relatività generale. Occupiamoci di sistemi a stato stazionario. Consideriamo una superficie piana, priva di tensioni interne. Possiamo modificare la sua geometria introducendo tensioni locali. Possiamo introdurre una tensione positiva o negativa (tensore di tensione). Ad esempio, se riscaldiamo una pellicola plastica, creeremo un rigonfiamento (effetto di curvatura positiva).
Posso anche impregnare il materiale con un prodotto che, una volta asciutto, provocherà un allungamento locale (effetto di curvatura negativa).
Un calderaio sa come utilizzare il riscaldamento e il raffreddamento per plasmare una superficie metallica, ad esempio una scatola che ha subito un incidente.
Prendiamo un semplice tubo metallico. Riscaldiamone un lato e raffreddiamone l'altro. Cosa succederà?
(40)
Le tensioni curveranno il tubo, come indicato nella figura (41).
(41)
Abbiamo introdotto tensioni nel metallo. È qui l'origine della parola tensore in matematica, resistenza dei materiali e geometria. Il specialista della resistenza dei materiali parlerà di tensore di tensione. Il geometra invocherà il tensore di curvatura. Il specialista della relatività generale applicherà il principio fondamentale:
contenuto locale materia-energia <-------> geometria locale
Ovviamente, questo contenuto locale materia-energia determina la geometria locale di un'iper-superficie a 4 dimensioni. Ma l'idea è simile.
Come scriverlo? Utilizzando ciò che i matematici chiamano tensori.
È difficile andare oltre in questa direzione senza sviluppare un corso completo di geometria differenziale. L'equazione celebre di Einstein è: (42)
**S **= c T
c è una costante semplice (chiamata costante di Einstein). Dipende dai valori di due altre costanti:
-
La velocità della luce c.
-
La costante di gravitazione G.
attraverso:
(42bis)
S è un tensore geometrico e supporta le caratteristiche geometriche.
T è un altro tensore, che descrive il contenuto locale dell'universo. In questo tensore troverete la densità di materia r e la pressione p. Sono espresse come densità di energia. r c² è una densità di energia
Ma p è anche una densità di energia. Di solito si esprime una pressione in pascal per metro quadrato. Ma un pascal per metro quadrato è anche un joule per metro cubo. Una pressione è fondamentalmente una densità di energia volumetrica. I campi
r (x,y,z) e p (x,y,z)
per un sistema a stato stazionario, costituiscono l'ingresso del problema. Da questi campi scalari possiamo costruire il tensore T. Poi la domanda diventa:
- Quale è la geometria che corrisponde a un tale campo di tensore T (x,y,z), che soddisfa l'equazione (42)?
Dato il contenuto locale dell'Universo, il teorico deve costruire la geometria locale dell'iper-superficie spazio-tempo. Ma a cosa serve?
Qui si utilizza l'altra ipotesi fondamentale:
- Tutti gli oggetti che compongono il nostro universo seguono le geodetiche dell'iper-superficie spazio-tempo.
Un oggetto può essere una stella, un pianeta, un atomo, un fotone, una particola elementare.
Le particelle provengono dall'equazione del campo? Per niente. La relatività generale le ignora completamente. Per il specialista della relatività generale, l'universo è un continuo, nient'altro. Le funzioni di ingresso r e p corrispondono a una descrizione macroscopica dell'universo. Stesso per l'uscita: il sistema di geodetiche. Per il teorico della relatività generale, l'Universo è un'iper-superficie, nient'altro. Dice:
- Mi hai dato le funzioni r (x,y,z) e p (x,y,z). Ho costruito per te l'iper-superficie adatta, che obbedisce all'equazione del campo. Ho determinato tutti i possibili percorsi: il sistema di geodetiche. Ma non sono assolutamente in grado di costruire le particelle per te. Mi dispiace. Vai in un altro dipartimento.
In sintesi: il ponte tra la relatività generale e il mondo delle particelle elementari aspetta ancora il suo costruttore.
Ma l'astronomo dirà:
- Chi se ne importa? I fotoni sono supposti seguire geodetiche particolari di questa iper-superficie. Funziona: posso osservare fenomeni con dispositivi ottici. I pianeti sono anche supposti seguire un altro tipo di geodetiche. Funziona anche. Posso calcolare le loro traiettorie, prevedere la precessione del perielio di Mercurio. C'è anche l'effetto lente gravitazionale.
Ha ragione.
Qualche parola su questo effetto gravitazionale. Innanzitutto, questa immagine del cono ottuso è un'immagine didattica semplice. Ad esempio, non può descrivere le traiettorie circolari di un pianeta intorno a una stella: (43)
Questo mostra semplicemente i limiti delle immagini didattiche. Ma possiamo utilizzare questo esempio per illustrare l'effetto lente gravitazionale, con due geodetiche:
(44)
Sotto, la rappresentazione mentale euclidea dello spazio. C'è un effetto di miraggio. Invece di un solo oggetto, l'osservatore vede due "miraggi gravitazionali".