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Formalismo invariante rispetto alle coordinate.
Questo è un altro concetto chiave della relatività generale. Abbiamo detto che il lavoro del cosmologo è equivalente a quello che consiste nel prevedere la forma di un materiale, a causa di sforzi interni. Prendi un oggetto la cui topologia è quella di una sfera. È una sfera in metallo. Anche in questo caso, potremmo plasmarla, utilizzando flussi d'aria calda e fredda. (45)
Questi flussi creano sforzi nel metallo, che modificano la sua forma. Ovviamente, poiché il calore si propaga nel metallo, se si smette di riscaldare e raffreddare, la temperatura della sfera torna all'uniformità e il suo aspetto diventa di nuovo regolare. Creiamo degli sforzi nel materiale, che modificano la sua geometria. Questo campo di sforzi può essere descritto da un oggetto matematico chiamato tensore T. La geometria dell'oggetto può essere calcolata da un'equazione del campo, simile all'equazione di Einstein. (46) S = a T dove a è una costante e S un tensore geometrico, che descrive le caratteristiche geometriche. Il modo migliore per "leggere" la soluzione sarebbe calcolare il sistema delle geodetiche. Conosciamo le geodetiche della sfera, ma quelle di un uovo sono diverse. Per esprimere queste geodetiche abbiamo bisogno di un sistema di coordinate. Per una sfera possiamo utilizzare un sistema (q,j) : (47)
In questo particolare sistema di coordinate, le geodetiche della sfera possono essere espresse in una forma particolare. Ad esempio, le curve: q = costante (meridiani)
sono geodetiche. Ma le curve
j = costante (paralleli) non sono geodetiche di questa superficie. Potremmo definire un sistema di coordinate simile sulla superficie "uovo". Ma una cosa è evidente: il sistema delle geodetiche esiste indipendentemente dalla sua rappresentazione matematica (in un sistema di coordinate dato, particolare). Il sistema delle geodetiche è invariante rispetto alle coordinate. Un altro esempio è molto più semplice. Consideriamo le geodetiche di una superficie piana. Sono linee rette. Possiamo descrivere queste linee rette in coordinate cartesiane: (48) Possiamo anche descrivere questa famiglia di geodetiche in coordinate polari. Allora le equazioni sono completamente diverse, ma si riferiscono alla stessa famiglia di linee rette. Queste linee rette, geodetiche della superficie piana, esistono indipendentemente dalle coordinate scelte. Sono oggetti invariati rispetto alle coordinate. Le equazioni non sono una caratteristica intrinseca. Si tratta di qualcosa che non cambia quando passiamo da un sistema di coordinate a un altro? Sì: il percorso geodetico tra due punti M1 e M2 non cambia. Stessa cosa per qualsiasi linea tracciata sulla superficie. La superficie, i punti, la curva che li collega esistono indipendentemente dal sistema di coordinate scelto. Stessa cosa per la lunghezza del percorso tra M1 e M2. Questo è anche vero per un arco geodetico, che è una linea particolare che collega due punti: (49) Inoltre, questo percorso geodetico è anche un percorso estremo (ad esempio, il più breve, indicato qui). Vale anche per l'iper-superficie spazio-tempo, che possiede il proprio sistema di geodetiche, anch'esso invariato rispetto alle coordinate. Su questa iper-superficie esiste una lunghezza s, che appartiene all'oggetto e che è indipendente dal sistema di coordinate scelto. Il punto delicato è che lo spazio e il tempo non sono grandezze indipendenti. Non viviamo in uno spazio a 3 dimensioni, con punti (x, y, z). Appartengiamo a un'iper-superficie a 4 dimensioni, completamente descritta dal suo sistema di geodetiche. Consideriamo due punti distinti di questa iper-superficie M1 e M2. Questi punti possono essere descritti in un sistema dato di quattro coordinate:
M1 ---> (x1, y1, z1, t1) M2 ---> (x2, y2, z2, t2) Questi punti sono chiamati eventi. Possiamo calcolare la curva geodetica che li collega, se esiste. Questi eventi non sono identici. Tra i due possiamo misurare una distanza s, che è invariata rispetto alle coordinate. Questa lunghezza è chiamata:
tempo proprio s
Supponiamo che tu e io utilizziamo una nave spaziale per viaggiare, da un punto M1 a un altro punto M2, situato nello spazio-tempo. s è la misura del tempo indicata dal nostro orologio a bordo.
Tu dirai: - Ma lo spazio esiste, no? - Fai attenzione. Questa definizione di ciò che chiamiamo spazio e "tempo assoluto" corrisponde a una scelta arbitraria. Sono solo modi pratici per "leggere" la superficie, come quando abbiamo scritto l'equazione delle linee rette, su una superficie piana, in due equazioni diverse. L'unica cosa che non cambia, che è invariata rispetto alle coordinate, è l'intervallo di tempo proprio Δt tra due eventi collegati da un altro oggetto invariato rispetto alle coordinate: una linea geodetica. Il cosiddetto "tempo assoluto" t non è altro che un marcatore cronologico un po' arbitrario. Cambiando il sistema di coordinate, cambi la lettura degli eventi. Nei lavori che presenteremo su questo sito, vedrai che è un problema reale. Comunque, capisci perché fisici e matematici hanno scelto un formalismo invariato rispetto alle coordinate, basato sui tensori. Le equazioni in forma tensoriale sono invariate rispetto alle coordinate.
Ecco lo spirito della relatività generale. Ma, tranne utilizzando un materiale sofisticato, è difficile dirti di più.