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Il problema delle singolarità.
Su una sfera, qualsiasi sia il sistema di coordinate scelto, non puoi evitare le singolarità (ad esempio, due singolarità polari):
(50)
Notate che è possibile mappare una sfera utilizzando una sola "singolarità polare". Tagliate la sfera lungo questa prima famiglia di piani, tutti passanti per una stessa retta:
(51)
Poi introducete la seconda famiglia di piani, che interseca anche la sfera.
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Se escludiamo questa zona problematica locale, altrove non ci sono problemi. Osservando la sfera dall'altro lato, ottenete questo:
(53)
Tuttavia, nei punti S, i valori di a e b non sono semplicemente definiti!
Tuttavia, una sfera è fondamentalmente una superficie regolare. Girate un uovo tra le mani: non scoprirete nessun punto particolare, nessuna singolarità intrinseca.
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Conclusione: queste singolarità sono un artefatto dovuto alla scelta delle coordinate.
Queste singolarità polari non sono "reali", non costituiscono delle singolarità intrinseche. Scegliete un sistema di coordinate, e poi un punto (o due) arbitrario diventa singolare. Le due singolarità di una sfera mappata — il polo nord e il polo sud — sono una creazione puramente artificiale dovuta alla scelta del sistema di coordinate.