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Al contrario, esistono singolarità intrinseche reali sulle superfici. Sono vere singolarità geometriche:
(55)
(56)
(57)
E così via...
Inoltre, un piegamento è una regione particolare di una superficie dove la curvatura lineare è concentrata. Nella figura (57), a sinistra, abbiamo una curvatura lineare negativa; a destra, una curvatura lineare positiva.
In ogni sottografico, abbiamo utilizzato due porzioni di sfera. L'oggetto globale ha la stessa topologia della sfera, il che significa che la sua curvatura angolare totale è $4\pi$.
Supponiamo che l'oggetto a sinistra sia stato costruito con due porzioni di sfera, ciascuna contenente una curvatura angolare di $3\pi$:
$$
3\pi + 3\pi = 6\pi
$$
È troppo. Quindi la curvatura lineare (negativa) deve compensarla per ottenere il valore finale richiesto $4\pi$:
In conclusione, il nostro piegamento contiene una curvatura negativa di:
$$
-2\pi
$$
Questa curvatura è distribuita uniformemente lungo la curva circolare, lungo il piegamento.
Torniamo alle figure (57). Abbiamo rappresentato triangoli costruiti con linee geodetiche. Ma potete attraversare un piegamento senza problemi con un nastro adesivo (stretto). Sapete come calcolare, e prevedere, la somma dei tre angoli del triangolo. Basta confrontare l'area del triangolo con l'area della sfera. L'eccesso di curvatura è:
$$
\text{(58)}
$$
Ma dovete considerare la curvatura (negativa o positiva) contenuta nella porzione del piegamento, cioè nell'arco $mn$. Questa curvatura è:
$$
\text{(59)}
$$
Supponiamo che una sorta di lente, a destra della figura (57), sia costruita con due porzioni di sfera, ciascuna contenente una curvatura angolare di $\pi$. Quindi, se ignoriamo il piegamento, questo insieme di due porzioni di sfera contiene una curvatura angolare di $2\pi$. Ma questa lente ha una topologia sferoidale; la contribuzione della curvatura angolare deve quindi essere $2\pi$. Pertanto:
$$
2\pi + 2\pi = 4\pi \quad \text{(curvatura totale della sfera)}
$$
Potete anche prevedere la somma degli angoli di questo triangolo strano, formato da tre linee geodetiche. L'arco $mn$ contiene la seguente curvatura angolare lineare:
$$
\text{(60)}
$$
Quando si misura la quantità di curvatura angolare contenuta nel piegamento, all'interno del triangolo, si può valutare la deviazione rispetto alla somma euclidea, che è $\pi$.
Così vedete che potete gestire relativamente facilmente questi problemi di curvatura sulle superfici.
Una superficie può avere punti conici o linee di piegamento. Sono singolarità intrinseche, e non queste singolarità artificiali, dovute a una scelta particolare delle coordinate. Osserviamo che è possibile smussare il piegamento; si ottiene così una forma simile a una nocciola:
$$
\text{(61)}
$$
Questo equivale a smussare il vertice puntiforme di un cono (curvatura angolare concentrata), trasformando l'oggetto in un cono smussato (curvatura angolare distribuita su una porzione di sfera).
Supponiamo che le due porzioni di sfera, rappresentate sopra nella figura (61), corrispondano ciascuna a $2/3$ di sfera, ovvero una curvatura:
$$
\text{(62)}
$$
La porzione grigia della "nocciola" contiene una curvatura negativa, precisamente:
$$
\text{(63)}
$$