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Spazio rappresentativo.
Abbiamo visto, in una sezione precedente, che un cilindro può essere appiattito. Ora prendete un foglio di carta, un foglio piano. È una superficie euclidea. Potete disegnarvi delle geodetiche. Ora schiacciatelo. (64)
Se poteste rendere questa superficie schiacciata rigida e disegnarvi delle geodetiche con del nastro adesivo, ritrovereste nuovamente lo stesso sistema! La superficie non era davvero cambiata. Se un abitante vivesse in un tale "pianeta piatto", forse non riconoscerebbe il processo di schiacciamento. Tutto resterebbe normale per lui, come è oggi: seguire le geodetiche della sua superficie spazio-temporale a 2D, ad esempio.
Schiacciare il foglio, avete semplicemente modificato il sistema rappresentativo, cioè il modo in cui la superficie a 2D è immersa nello spazio euclideo a 3D.
Una modifica più semplice consiste nel trasformare una lastra metallica piatta in una superficie ondulata. Vedere la figura (65) (65)
Molti anni fa ero in un grande mercato di Addis Abeba, in Etiopia. Lì, il metallo è raro. Si trovano officine dove giovani uomini trasformano lastre ondulate in piastre piane, utilizzando un semplice martello. Se uno di loro avesse disegnato una geodetica prima dell'operazione, avremmo constatato che il sistema di geodetiche rimaneva invariato.
Ma, per essere onesti, non sono davvero sicuro che questo tipo di persona sappia cosa sia una geodetica, dal punto di vista matematico, ovviamente. Ogni persona che costruisce cestini utilizza naturalmente delle linee geodetiche.
Ricordo che ero insegnante di intreccio di cestini, in un campo vacanze vicino a Burlington e al lago Champlain, nel Vermont... tanti anni fa.
Tenete presente che gli oggetti geometrici hanno la loro esistenza e proprietà, indipendenti dal modo in cui li rappresentate in uno spazio con un numero maggiore di dimensioni. Schiacciato o meno, un foglio resta un foglio, cioè una superficie euclidea.
Siamo supposti a vivere in una ipersuperficie a 4D. Tutti noi viviamo nello stesso modo, in linea di principio. Ma mia moglie Claire, che è una persona molto carina, è convinta che io viva in uno spazio con più dimensioni (cinque, secondo lei). Questo comporta a volte difficoltà di comunicazione quando mi trovo in qualche punto della mia quinta dimensione personale.
Ma le donne vivono davvero in un'ipersuperficie a 4D? A volte ne dubito, ma è un'altra questione.
Ammettiamo che viviate in un'ipersuperficie a 4D e seguiate le geodetiche di questo spazio-tempo, come un bue segue il suo solco.
Supponiamo ora che siate Dio. Volete una rappresentazione completa di questa ipersuperficie a 4D. Allora avete bisogno di almeno una dimensione aggiuntiva. Personalmente, penso che, se Dio esiste, deve vivere in un ipermondo a dieci dimensioni. Gli argomenti seguenti saranno sviluppati nella Fisica Geometrica B, e provengono dalla teoria dei gruppi.
Dio possiede una struttura di gruppo?
In pratica, il specialista della relatività generale calcola una soluzione di un'equazione del campo (la soluzione di Einstein). Poi esamina il sistema delle geodetiche. Sono "linee rette a 4D". Nello spazio-tempo, seguendo le geodetiche, l'ordine generale è:
- Vai dritto! Non girare né a sinistra né a destra.
Obbedisci semplicemente perché non puoi fare altro. Girare è assurdo nello spazio-tempo. Tutto, tutti "vanno dritto".
Ma le cose, le traiettorie, i percorsi ci sembrano curvati ai nostri occhi a 3D. Li leggiamo nella nostra rappresentazione mentale dello spazio. Facciamo fronte al muro della caverna di Platone, guardando ombre danzanti tridimensionali.
Ritorniamo alla nostra immagine didattica a 2D, al cono smussato. È supposto rappresentare lo spazio vicino a una concentrazione di massa (area grigia). Supponiamo che corrisponda a uno stato stazionario.
Possiamo utilizzare le coordinate sferiche (r, q, j) come riferimenti spaziali (in 3D). In 2D abbiamo solo due coordinate: (r, q).
Possiamo quindi proiettare la figura su un piano e utilizzare lo stesso insieme di coordinate polari. Vedere la figura seguente.
(66)
Come detto sopra, la superficie del cono smussato è un modello didattico approssimativo, che suggerisce una soluzione particolare dell'equazione del campo di Einstein
(67) S = c T
costruita nel 1917 da Schwarzschild. È un'opera brillante e ingegnosa. Basta dire che, in quel periodo, Albert non era un genio solitario, perso su un'isola deserta. Molte persone pensano che il grande matematico tedesco Hilbert abbia inventato l'"equazione di Einstein". Altri hanno suggerito che la signora Einstein potrebbe aver contribuito efficacemente alla costruzione della relatività ristretta, che deriva naturalmente dai lavori di Poincaré e Lorentz (se guardate i lavori di Einstein, vedrete che raramente menziona altre persone).
La soluzione di Schwarzschild è un pilastro della relatività generale. La si utilizza per calcolare le traiettorie relativistiche dei pianeti intorno al Sole, evidenziando la precessione del perielio di Mercurio.
Tutti direbbero immediatamente:
- Perché Schwarzschild non l'ha calcolato lui stesso?
C'era una buona ragione: era morto.
Schwarzschild era un patriota e insistette per andare al fronte nel 1917. Lì fu avvelenato con gas e morì in seguito. Einstein proseguì il lavoro, che divenne "la teoria di Einstein".
Era una soluzione a stato stazionario. Più tardi Einstein cercò di costruire un modello dell'Universo, dove la curvatura potesse essere identificata alla densità di energia-materia. Ma, a quel tempo, nessuno sapeva che l'Universo non fosse stazionario. Albert cercò di costruire un modello stazionario, ma le cose non andarono bene. Poi visitò Élie Cartan, grande matematico francese, che gli consigliò di aggiungere una costante nell'equazione del campo, cosa che fece Einstein.
Poi un pilota di planatore russo chiamato Friedmann inventò una soluzione non stazionaria. Nello stesso periodo, Edwin Hubble scoprì lo spostamento verso il rosso e le caratteristiche non stazionarie dell'Universo. Einstein fu molto deluso e disse:
- Se avessi saputo che l'Universo non era stazionario, avrei trovato la soluzione prima di Friedmann!
Come dicevano una volta i Lacedemoni.
Ma questa storia non finì lì. Inizialmente, Friedmann aveva costruito la soluzione ciclica, una delle tre che compongono i "modelli di Friedmann".
Einstein rimase in silenzio per anni. Poi, dopo la morte di Friedmann, pubblicò il "modello di Einstein-de Sitter", la "soluzione parabolica di Friedmann".
Più tardi, un giovane ricercatore polacco chiamato Kaluza inviò un articolo al "Professor Einstein", rifiutato per più di un anno. Kaluza protestò con Einstein, che gli rispose:
- Dovresti guardare più attentamente questa teoria. Sono scettico...
Molti anni dopo l'idea di Kaluza (aggiungere una quinta dimensione allo spazio-tempo) divenne il punto di partenza di opere avanzate (inclusa l'approccio delle superstringhe). Vedere la Fisica Geometrica B.
Beh, Albert non era così sportivo...
Ritorniamo al modello a stato stazionario a 3D corrispondente alla geometria spazio-temporale intorno al Sole. Il calcolo dà geodetiche situate in piani. Se l'effetto di curvatura è moderato e la velocità è bassa rispetto alla velocità della luce c, la loro proiezione, in uno spazio-tempo euclideo rappresentativo, corrisponde a traiettorie quasi kepleriane e alle leggi di Keplero. Possiamo ignorare il tempo e rappresentare queste geodetiche in piani, utilizzando coordinate polari.
r = f (q).
Nella soluzione di Schwarzschild, esistono in realtà due "soluzioni metriche" collegate, come indicato nella figura (68). All'interno del "corpo massivo", la densità di massa r è supposta costante. Lì il tensore energia-materia T non è nullo. Ma all'esterno, r e T sono nulli.
(68)
Si tratta di una geometria composta. In 3D, la densità di massa presenta una brusca discontinuità sulla superficie (supposta sferica) della "concentrazione di massa". Questo è simile alla discontinuità della densità di curvatura angolare sulla superficie (non nulla nella zona grigia, nulla all'esterno). Il confine diventa una sfera S1, cioè un... cerchio.
In 4D, il collegamento matematico può essere costruito per garantire la continuità delle linee geodetiche. Questo è simile alla porzione di collegamento di una porzione di sfera o di un posicone.
Quando la massa diventa importante (che non può essere descritta dal nostro modello didattico approssimativo a 2D), le traiettorie chiuse non sono più ellittiche.
Vedere la figura (69). Questo disegno corrisponde alla traiettoria di un veicolo spaziale intorno a una stella di neutroni.
La traiettoria di Mercurio intorno al Sole è simile, ma la precessione del perielio delle traiettorie ellittiche è di 0,15° per secolo.
(69)
Un giorno includeremo le formule e il programma che permettono di giocare con questo problema. Non è molto difficile.
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