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Contesto geometrico.****
Una sfera è un oggetto geometrico a due dimensioni. Abbiamo bisogno di due grandezze, due numeri, due scalari, per localizzare un punto su di essa.
Una sfera è una superficie che possiede una topologia. La sua topologia è diversa da quella del toro.
Entrambi possiedono sistemi geodetici. Come indicato in una sezione precedente, possiamo immaginare due punti distinti M1 e M2 su una sfera e una curva che li collega. Possiamo quindi misurare la lunghezza lungo questo percorso particolare. Si tratta di una quantità invariante rispetto al cambiamento di coordinate. Una sfera S² esiste indipendentemente da qualsiasi spazio rappresentativo in 3D. Ma possiamo rappresentarla nel nostro spazio euclideo familiare in 3D, in cui siamo supposti vivere. Possiamo quindi assegnarle un centro e collegare tutti i suoi punti a questo centro. Vedere la figura (116). Ogni punto corrisponde a due angoli: q e j.
(116)
Abbiamo praticato un foro nella sfera per mostrare i vettori OM, dove O è il centro e M un punto della sfera.
Ora, la figura (117) conserva i vettori e dimentica la sfera.
(117)
Queste semirette sono infinite, ma le abbiamo rappresentate tagliate a una lunghezza data, corrispondente al raggio R della nostra sfera. Ogni retta corrisponde a una coppia ( q , j ). La struttura metrica è scomparsa. Nessuna geodetica, nessuna lunghezza. Cosa rimane?
Ogni semiretta ha vicini, che formano il suo intorno. Ogni semiretta può essere immaginata come racchiusa in una serie di coni (figura (118)).
(118)
Intorno a ogni retta, possiamo posizionare quanti coni vogliamo. Tra due di questi coni, possiamo sempre inserirne un altro. Questo suggerisce intuitivamente il concetto di differentiabilità. In un tale oggetto geometrico, non c'è alcuna discontinuità.
Ora, dimentichiamo la sfera e prendiamo una superficie piana. È un insieme di punti. Qualsiasi sistema di coordinate io scelga, posso definire i punti utilizzando due grandezze: (x,y), (r,q), ecc.
Una coppia di numeri reali. Queste coppie sono scelte in R², cioè nell'insieme dei numeri reali, come (3,8705 , -17,56).
Ogni coppia di numeri reali (x ; y) ha un numero infinito di vicini (x + Dx ; y + Dy).
Questi oggetti "pre-metrici" sono chiamati dai matematici varietà.
È abbastanza difficile pensare a un tale mezzo "flessibile". Nella figura (119), abbiamo rappresentato una superficie rigida piana, dotata di proprietà metriche, e al di sotto, l'ombra dei suoi punti.
(119)
Un'ombra non ha una forma propria né un'estensione. Dipende dallo schermo e dalla produzione dei raggi luminosi. Nella figura (120), suggeriamo la relatività dell'ombra rispetto all'oggetto.
(120)
Queste "rette parallele" sono simili a quei raggi che abbiamo introdotto per collegare i punti di una sfera al suo centro. Qui, i punti del piano sono "collegati" a una "sorgente" situata all'infinito.
Abbandoniamo questa ultima idea di rette dritte. Consideriamo un pacchetto di spaghetti cotti (se non lo sono, dovrebbero essere rigidi e fragili). Possiamo piegarli. Ma imponiamo agli spaghetti di rimanere uniti. Il loro intorno non deve essere modificato.
(121)
Tutto questo è molto rozzo, lo so, e non completamente rigoroso. Sto semplicemente cercando di suggerire al lettore cosa sia una varietà, un oggetto geometrico senza metrica, la cui proprietà principale è che ogni punto ha dei vicini.
Una varietà è un insieme di punti m. Posso immaginare di associare a ogni punto di una varietà una coppia (M1, M2) di punti appartenenti a superfici reali, dotate di proprietà metriche, lunghezze, ecc.
Chiamo una varietà a n dimensioni una varietà scheletro e le superfici associate a n dimensioni semplicemente pieghe. Poi costruisco il rivestimento a due pieghe di una varietà.
Nella figura (122) si trova il rivestimento a due pieghe di una varietà m2 (due dimensioni).
(122)
Nella figura (122), ho rappresentato pieghe euclidee identiche e parallele, dotate della stessa metrica. Ma posso costruire la figura (123) :
Chiameremo M e M* punti coniugati. Costruire queste due pieghe a partire da una "varietà scheletro" ha un significato preciso: a ogni punto M della piega F possiamo associare uno e un solo punto coniugato M*. Esiste un'applicazione punto per punto. Possiamo quindi dimenticare la varietà scheletro.
A ogni intorno di un punto della piega F corrisponde l'intorno del suo punto coniugato M*. Vedere la figura (124). Questo significa che a ogni regione regolare di F corrisponde una regione regolare coniugata appartenente a F*.
(124)
Questo mostra in particolare che i punti coniugati M e M* sono descritti dallo stesso insieme di coordinate.