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Curvatura coniugata.****
Come comprendere gli spazi a 3 dimensioni, con curvatura locale positiva o negativa?
Iniziare con superfici a 2 dimensioni. Considerare una sfera e fissare un chiodo in un punto qualsiasi di essa, come mostrato nella figura (125). Fissare un filo la cui lunghezza è L, collegando il chiodo e una matita. Possiamo utilizzarlo per disegnare un cerchio, un parallelo della sfera. Un parallelo di una sfera è l'insieme dei punti che si trovano alla stessa distanza L da un punto dato S.
Possiamo effettuare operazioni simili (figure (125)):
- Su una sella di cavallo
- Su un piano.
(125)
Su una superficie piana, il perimetro è 2πL mentre l'area del disco è πL².
Sulla sfera, il perimetro e l'area del disco sono più piccoli. Al contrario, sulla sella di cavallo, sono più grandi.
Consideriamo una sfera e un parallelo che corrisponde al suo equatore. Vedere la figura (126). I valori corrispondono alla figura (126).
(126)
L'area del disco è 3,875 volte più grande della porzione (grigia) corrispondente della sfera. Il suo perimetro è 1,57 volte più lungo della lunghezza dell'equatore.
Test simili mostrerebbero la curvatura negativa della sella di cavallo. Se disegniamo una curva chiusa, insieme dei punti che si trovano alla stessa distanza L da un punto dato, su una sella di cavallo, l'area di questo disco a curvatura negativa è maggiore dell'area di un disco piano πL². Allo stesso modo, il perimetro del disco a curvatura negativa è maggiore di quello del disco piano: 2πL.
La geometria è una scienza per i ciechi. I geometri cercano di progettare test che gli abitanti di uno spazio dato potrebbero eseguire per scoprire da soli le sue proprietà geometriche. Dalle figure precedenti, gli abitanti di una superficie a due dimensioni, incapaci di vederla da un punto esterno (poiché vivono dentro), potrebbero scoprire, attraverso misurazioni di area e lunghezza, se la porzione di superficie in cui vivono ha una curvatura locale positiva, una curvatura locale negativa o una curvatura locale nulla (spazio euclideo).
Notare che esistono superfici la cui curvatura locale può essere positiva, nulla o negativa. Esempio: un toro.
(126ter)
Metodi simili si applicano agli spazi a 3 dimensioni. Scegliere un punto O, ovunque. Prendere un filo, un "matita", e utilizzarlo per disegnare l'insieme dei punti situati a una distanza data L dal punto considerato. Otteniamo una sfera e possiamo misurarne l'area. Se questa superficie è stata costruita in uno spazio euclideo a 3 dimensioni, questa area sarà: 4πL².
Se questa area risulta più piccola, significa che questo spazio a 3 dimensioni non è euclideo. Si tratta di uno spazio a 3 dimensioni di Riemann, con curvatura positiva. Se misuriamo il volume, scopriremo che è più piccolo di:
(127)
La situazione sarà invertita se trattiamo uno spazio a 3 dimensioni con curvatura negativa. L'area della sfera, considerata come l'insieme dei punti situati a una distanza data L da un punto fisso O, sarà maggiore di 4πL². Il volume all'interno di questa superficie chiusa sarà maggiore di (127).
La cosmologia non si basa su spazi semplici a 3 dimensioni, ma su ipersuperfici a 4 dimensioni (con firma "iperbolica"), quindi questa presentazione è limitata. Bisogna considerarla come un modello didattico rudimentale.
La curvatura scalare di Riemann di uno spazio a n dimensioni è leggermente diversa.
Nel nostro modello cosmologico attuale, assumiamo che la curvatura scalare di Riemann locale, nei punti coniugati (M, M), siano opposte:
*(127bis)
R* = - R
Lo specialista troverà ulteriori dettagli nell'articolo:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost matter astrophysics. 2 : Conjugated steady state metrics. Exact solutions. Geometrical Physics A, 5, marzo 1998.
Successivamente, un'immagine didattica utile in 2 dimensioni, che corrisponde alla figura 39.
(128)
In alto: un posicone liscio. Curvatura locale (angolare) nulla nella parte del posicone. Densità di curvatura positiva costante nella parte (grigia) di una sfera.
In basso: un "negacono liscio". Densità di curvatura locale (angolare) nulla nella parte del negacono che circonda la sella di cavallo. Densità di curvatura negativa costante nella parte della sella di cavallo, di fronte alla parte di una sfera.
Le curvature sono coniugate. Fronte a fronte, con corrispondenza punto per punto, le parti di curvatura locale nulla del posicone e del negacono.
Fronte a fronte, con corrispondenza punto per punto, una superficie a curvatura positiva costante (una parte di una sfera) e una superficie a curvatura negativa (sella di cavallo). Le densità di curvatura sono uguali e opposte. I bordi circolari sono collegati, punto per punto.
Questo è un'immagine didattica del nostro modello cosmologico. Per ulteriori dettagli matematici, vedere:
J.P. Petit & P. Midy : Matter ghost-matter astrophysics. 1. The geometrical framework. The matter era and the newtonian approximation. Geometrical Physics A, 4, marzo 1998.