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Conclusione di questa prima parte dedicata alla geometria.
Una parola sulla Fisica Geometrica B e sulla teoria dei gruppi.
( Gli elementi della teoria dei gruppi, applicati alla fisica, sono presentati all'inizio del sottosito Fisica Geometrica B, "Gruppi Dinamici in Fisica". )
Abbiamo introdotto nuovi concetti geometrici.
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Geometrie gemelle, ispirate inizialmente dall'idea di Andrei Sakharov: non esiste un solo universo, ma due, che A. Sakharov chiamò, nel 1967, "universi gemelli".
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Questi due universi non vivono in luoghi lontani, ma sono "nello stesso posto". Abbiamo dato l'immagine (didattica) delle dame, con due partite, una giocata sulle caselle nere e l'altra sulle caselle bianche.
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Questa è un'immagine didattica di una struttura geometrica più raffinata, in cui l'universo, nel suo complesso, è composto da due pieghe distinte (ma interagenti). Queste pieghe sono ipersuperfici di dimensione 4, che possono essere considerate "il rivestimento a due fogli di una varietà scheletro".
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Come nella relatività generale, supponiamo che le particelle seguano le geodetiche di ciascuna ipersuperficie. Una di queste è supposta essere il nostro spazio-tempo. L'altra è supposta essere uno spazio-tempo gemello.
A priori, tre tipi di particelle sono supposti evolvere lungo le geodetiche di ciascuna piega, che sono, schematicamente:
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materia
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antimateria.
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fotoni.
Così, nella seconda piega, nel secondo universo, che possiamo chiamare piega fantasma o universo fantasma, troveremmo:
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materia fantasma
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antimateria fantasma
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fotoni fantasma.
( Tutto ciò è spiegato in dettaglio in "Fisica Geometrica B: Gruppi Dinamici in Fisica". )
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Le due pieghe sono distinte e le loro linee geodetiche sono altresì distinte. Così un fotone che si muove su una geodetica della nostra piega F non può saltare e seguire una "geodetica fantasma", appartenente all'universo fantasma, alla piega fantasma F*. In conclusione, la luce emessa dalla materia (o dall'antimateria) nella nostra piega non può raggiungere l'altro universo e essere ricevuta da una particella fantasma. Se esistessero creature viventi nella piega F*, non potrebbero vedere le nostre stelle, le nostre galassie, niente che si trova nella nostra piega, su basi puramente geometriche.
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Al contrario, un fotone fantasma, emesso da una particella di materia fantasma (o di antimateria fantasma) nella piega fantasma F* (o universo fantasma), si muove lungo una geodetica di questa piega e non può saltare nell'altra piega, la nostra. Non può quindi essere ricevuto, catturato da una particella massiva situata nel nostro universo. In conclusione, le strutture dell'universo gemello, o universo ombra, o universo fantasma, qualunque nome scegliamo, sono fondamentalmente invisibili per noi. Se esistessero strutture di qualsiasi tipo in questo secondo universo, non potremmo osservarle, con mezzi ottici, per la stessa ragione: su basi puramente geometriche.
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Questa idea è vicina all'idea avanzata dalla teoria delle superstringhe. Molti ricercatori della comunità delle superstringhe sono ora convinti che esistano due mondi, che comunicano solo attraverso il campo gravitazionale.
Witten (vincitore della medaglia Fields), Duff, Green Schwarz, il premio Nobel Abdus Salam...
leggere un articolo recente di Michael Duff, su Scientific American, intitolato "la nuova teoria delle superstringhe", tradotto in francese (Pour la Science, aprile 1998).
Duff immagina la materia "su un muro" e la materia invisibile "su un altro muro, parallelo al primo".
L'idea di due universi, due entità, incapaci di vedersi reciprocamente e che comunicano solo attraverso la forza gravitazionale, era inizialmente dovuta a Green, Schwarz e al premio Nobel Abdus Salam.
L'idea generale è quella di estendere il numero di dimensioni. In fisica classica, questo numero è quattro: (x, y, z, t), corrispondente allo spazio-tempo. La fisica teorica moderna tende ad estendere questo numero, in genere a dieci.
Tutto si basa quindi sulle teorie dei gruppi e sulle simmetrie. Una simmetria non è solo le simmetrie familiari dello spazio a 2D o 3D, come:
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Simmetria rispetto a un punto.
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Simmetria rispetto a un piano.
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Simmetria rispetto a una retta.
-
o simmetria di rotazione (oggetti periodici, cristalli).
Un oggetto che rimane invariato attraverso una traslazione possiede questa "specie di simmetria".
Esistono anche, ad esempio, simmetrie rispetto al tempo. Consideriamo il movimento di una particella-test situata a una distanza r da un punto massico M.
G essendo la costante gravitazionale, il movimento obbedisce, in dinamica newtoniana, alla seguente equazione differenziale:
(142)
che possiede una soluzione particolare:
(143)
quest'ultima essendo reversibile nel tempo. Otteniamo una simmetria rispetto al tempo, una simmetria T.
Le particelle possiedono un insieme di simmetrie particolari. Questo forma un insieme di vincoli forti, se si vuole costruire il gruppo che governa le "cose".
Al momento attuale, i ricercatori della teoria delle superstringhe si trovano di fronte a un muro. Il loro "tool box" offre troppe possibilità, in modo che non parlano più di teoria, ma di teorie. Molti dicono: "tra le milioni di teorie possibili..."
Con il mio collega Pierre Midy, abbiamo affrontato il problema da un angolo diverso, utilizzando uno strumento chiamato "l'azione coaggiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti". Vedi il libro di Jean-Marie Souriau:
"Structure of Dynamical Systems", Birkhauser Ed. 1997".
(Vedi anche Fisica Geometrica B, Gruppi Dinamici in Fisica ) . ** Con questo strumento è stato possibile geometricizzare particelle elementari come il protone, il neutrone, l'elettrone, il fotone, i neutrini, e le loro antiparticelle. Ma non trattiamo strutture più profonde (quark). Vedi il nostro articolo:
J.P. Petit e P. Midy : Geometrizzazione della materia e dell'antimateria attraverso l'azione coaggiunta di un gruppo sul suo spazio dei momenti. 1 : Cariche come componenti scalari aggiuntive del momento di un gruppo che agisce su uno spazio a 10 dimensioni. Definizione geometrica dell'antimateria. Fisica Geometrica B, 1, 1998.
Questo articolo contiene una definizione geometrica dell'antimateria.
In breve, al di là dello spazio-tempo classico: { x, y, z, t }, aggiungiamo sei dimensioni aggiuntive, dimensioni aggiuntive:
{ z₁, z₂, z₃, z₄, z₅, z₆ }
Possiamo associare questi scalari a un vettore z. Analogamente, possiamo definire il vettore spazio-tempo:
(144)
Possiamo considerare che una particella "vive" in uno spazio a dieci dimensioni:
(145)
(146)
O, semplicemente: z → - z
che significa:
z₁ → - z₁
z₂ → - z₂
z₃ → - z₃
z₄ → - z₄
z₅ → - z₅
z₆ → - z₆
Tutte le dimensioni aggiuntive sono invertite.
L'introduzione di dimensioni aggiuntive modifica il Gruppo Dinamico. Vedi il libro di Souriau, edizione Birkhauser 1997.
In fisica relativistica non quantistica, il gruppo dinamico è il gruppo di Poincaré. Lo si estende al mondo quantistico introducendo una quinta dimensione z (Souriau, 1964). Inoltre, il metodo di Kostant-Kirilov-Souriau permette di costruire l'equazione di Klein-Gordon a partire dall'"estensione centrale del gruppo di Poincaré", nuovo gruppo dinamico.
Noi trattiamo un gruppo di Poincaré generalizzato ed esteso ("gruppo di Petit"), il cui atto coaggiunto sul suo spazio dei momenti dà i sei numeri quantistici classici:
q : carica elettrica
cB : numero barionico
cL : numero leptonico
cm : numero muonico
ct : numero tauonico
v : costante giromagnetica.
Una particella è allora definita dall'insieme:
{ q, cB, cL, cm, ct, v, E, px, py, pz, s }
E è la sua energia
{ px, py, pz } è il suo vettore impulso
s è il suo spin.
Ad esempio, un elettrone corrisponde a:
q : carica elettrica = -1
cB : numero barionico = 0
cL : numero leptonico = 1
cm : numero muonico = 0
ct : numero tauonico = 0
v : costante giromagnetica = ve
s = 1/2
e un antiprotono a:
q : carica elettrica = -1
cB : numero barionico = -1
cL : numero leptonico = 1
cm : numero muonico = 0
ct : numero tauonico = 0
v : costante giromagnetica = -ve
s = 1/2
un fotone a:
q : carica elettrica = 0
cB : numero barionico = 0
cL : numero leptonico = 0
cm : numero muonico = 0
ct : numero tauonico = 0
v : costante giromagnetica = 0
s = 1
Nella teoria di Dirac dell'antimateria, tutte le cariche sono invertite (compresa la carica elettrica).
Poiché tutte le cariche del fotone sono nulle, questo spiega perché il fotone è la sua stessa antiparticella, poiché:
- 0 = + 0
Questo metodo dà quindi una prima geometrizzazione delle particelle elementari (ordinate). La descrizione è limitata alle componenti dei nuclei.
Versione originale (inglese)
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Conclusion of this first part devoted to geometry.
A word about Geometrical Physics B and group theory.
( Elements of group theory, applied to physics, are given at the begining of the sub-site Goemetrical Physics B , "Dynamic Groups of Physics" ) .****
We have introduced new geometric concepts.
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Twin geometries, inspired intially by Andréi Sakharov's idea : There is not only a single universe, but two, which A. Sakharov called, in 1967 "twin universes".
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These two universes don't live in distant places, but lie "at the same place". We gave the (primitive) didactic image of checkers, with two games, one being played on black squares and the other on white ones.
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This is a didactic image of a more refined geometric structure, in which the universe, as a whole, is composed by two distinct (but interacting) folds. These folds are 4d hypersurfaces, which can be considered as "the two-folds cover of a skeleton-manifold".
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As in general relativity, we assume that particles follow geodesic of each hypersurface. One of these is supposed to be our space-time. The other is supposed to be twin space-time.
A priori three kinds of particles are supposed to cruise along geodesics in each fold, which are, schematically :
-
matter
-
anti-matter.
-
photons.
So that, in the second fold, the second universe, that we can call ghost fold, or ghost universe, we would find :
-
ghost matter
-
ghost anti-matter
-
ghost photons.
( all that is explained in details in " Geometrical Physics B : Dynamic Groups ins Physics" ).
-The two folds are distinct and their geodesic lines are distinct too. So that a photon, travelling on a geodesic of our fold F, cannot jump and follow a "ghost geodesic", which belongs to the ghost universe, the ghost fold F*. As a conclusion, light emetted by matter (or anti-matter) in our fold, cannot reach the other universe and be received by some ghost particle. If some living creatures exist in the fold F*, they cannot see our stars, our galaxies, anything that lies in our fold, on pure geometrical grounds.
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Conversely, a ghost photon, emitted by a particle of ghost matter (or ghost anti-matter) in the ghost fold F* ( or ghost universe ), travels on a geodesics of this fold and cannot jump to the other fold, ours. So that it cannot be received, captured by any massive particle located in our universe. As a conclusion, the structures of the twin universe, or shadow universe, or ghost universe, whatever the name we choose, are basically invisible to us. If there are structures of any kind in this second universe, we cannot observe it, by optical means, for the same reason : on pure geometrical grounds.
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This idea is close to the superstring advanced idea. Many researchers, from the superstring community, are now conviced that two worlds exist, which communicate only through gravitational field.
Witten ( Field medal winner ), Duff, Green Schwarz, the Nobel Price winner Abdus Salam.....
see a recent paper of Michael Duff, in Scientific American, entitled "the new superstring theory", translated in french (Pour la Science Journal, april 1998 ).
Duff imagines matter "on a wall" and some invisible matter "on another wall, parallel to the first.
The idea of two universe, two entities, unable to see each other and communicating only through gravitational force, was initially due to Green, Swharz and the Nobel Price winner Abdus Salam.
The general idea is to extend the number of dimensions. In classical physics, this number is four : (x , y , z , t), corresponding to space-time. Modern theoretical physics tends to extend that number, in general to ten.
Then all is based on group theories and *symmetries *. A symmetry is not only the familiar symmetries of the 2d or 3d space, like
-
Symmetry with respect to a point.
-
Symmetry with respect to a plane
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Symmetry with respect to a straight line.
-
or rotational symmetry ( periodic objects, crystals ).
An object which remains unchanged through a translation owns this "kind of symmetry".
There are also, for example, symmetries with respect to time. Consider the movement of a test particle, located at a distance r from a mass-point M.
G being the constant of gravity, the movement obeys, in newtonian dynamics, the following differential equation :
(142)
which owns a peculiar solution :
(143)
this last being *time-reversible **. ***We get a symmetry with respect to time, a T-symmetry.
Particles own a set of peculiar symmetries. This forms a set of strong constraints, if one wants to build the group which runs the "things".
At the present time the superstring men are facing a wall. Their tool box offers too many possibilities, so that they don't talk about theory, but about theories. Many uses to say : "among the million of possible theories..."
With my collegue Pierre Midy we have approached the problem on a different angle, using a tool called "the coadjoint action of a group on its momentum space". See the book of Jean-Marie Souriau :
"Structure of Dynamical Systems",Birkhauser Ed. 1997".
(See also Geometrical Physics B, Dynamic groups ins Physics ) . ** With such tool it has been possible to geometrize elementary particles such as proton, neutron, electron, photon, neutrinos, and their antis. But we do not deal with deeper structure ( quarks). See our paper :
J.P.Petit and P.Midy : Geometrization of matter and anti-matter through coadjoint action of a group on its momentum space. 1 : Charges as additional scalar components of the momentum of a group acting on a 10d-space. Geometrical definition of anti-matter. Geometrical Physics B, 1, 1998.
This paper contains a geometrical definition of anti-matter .
Briefly, to classical space-time : { x , y , z , t } we add six more dimensions, additional dimensions :
{ z 1, z 2,z 3,z 4,z 5,z 6 }
We can link these scalar to a vector **z . **Similarly we can define the space-time vector :
(144)
We can consider that a particle "live" in a ten dimensional space :
(145)
(146)
Or, simply : z ---> - z
which means :
z 1 -----> - z 1 z 2 -----> - z 2 z 3 -----> - z 3 z 4 -----> - z 4 z 5 -----> - z 5 z 6 -----> - z 6
All the additional dimensions are reversed.
The introduction of additional dimensions modifies the Dynamic Group . See the book of Souriau, Birkhauser Ed. 1997.
In non quantum relativistic physics the dynamic group is the Poincaré's group. One extends to the quantum world, introducing a fifth dimension z (Souriau, 1964). Furthermore the Kostant-Kirilov-Souriau method makes it possible to build the Klein-Gordon equation from the "Central extension of the Poincaré group", the new dynamic group.
We deal with a generalized extended Poincaré's group ("Petit's group"), whose coadjoint action on its momentum gives the six classical quantum numbers :
q : electric charge cB : baryonic number cL : leptonic number cm : muonic number ct : tauonic number v : gyromagnetic constant.
Then a particle is defined by the set :
{ q , cB , cL , cm , ct , v , E , px , py, pz, s }
E is its energy
{ px , py, pz} is its impulsion vector
s is its spin.
For example, an electron corresponds to :
q : electric charge = - 1 cB : baryonic number = 0 cL : leptonic number = 1 cm : muonic number = 0 ct : tauonic number = 0 v : gyromagnetic constant. = ve s = 1/2
and anti proton to : q : electric charge = - 1 cB : baryonic number = -1 cL : leptonic number = 1 cm : muonic number = 0 ct : tauonic number = 0 v : gyromagnetic constant. = - ve s = 1/2
a photon to :
q : electric charge = 0 cB : baryonic number = 0 cL : leptonic number = 0 cm : muonic number = 0 ct : tauonic number = 0 v : gyromagnetic constant. = 0 s = 1
In Dirac's anti-matter all the charges are reversed ( including the electric charge ).
As all the charges of photons are zero it explains why the photons is its own antiparticle, because :
- 0 = + 0
Then this method gives a first geometrization of (usual) elementary particles. The description is limited to the components of the nuclei.