Geodetiche.
...Nel seguito trattiamo superfici bidimensionali. A proposito, perché una superficie è un oggetto bidimensionale? Perché servono due parametri per localizzare un punto su di essa. Esempio: longitudine e latitudine sulla Terra.
...Sono cose che capirai meglio con le mani che con la testa. Prova a scoprire alcune cose prima di iniziare a leggere questo testo. Ti servono:
- Carta, sia rigida che flessibile.
- Nastro adesivo colorato.
- Forbici
...In seguito, con questo tipo di nastro adesivo colorato puoi ricavare strisce di larghezza costante.
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...Prendi una superficie qualsiasi, per esempio la carrozzeria della tua auto. Puoi incollare la tua striscia di nastro adesivo su di essa, evitando accuratamente le pieghe. Allora ottieni delle geodetiche di questa superficie. Ce ne sono un'infinità sulla carrozzeria della tua auto.
Puoi farlo su un piatto piano. Allora ottieni le "rette del tuo piano".
Le "rette" sono solo geodetiche particolari, quelle sul piano.
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Con tre geodetiche costruisci un triangolo su questa "superficie euclidea". Allora la somma dei tre angoli è 180°.
Posiconi.
...Ora, costruiamo un "posicone", una sorta di "cono positivo". Prendi semplicemente un pezzo di carta, una superficie piana, e ritaglia un settore con le forbici. Poi unisci le linee SA e SB, come indicato nella figura seguente.
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...Ora, con il nostro nastro adesivo, tracciamo tre linee geodetiche su quella superficie, come mostrato nella figura (9). Possiamo misurare la somma dei tre angoli e troviamo due casi:
Se il triangolo non contiene il vertice S di questo posicone, la somma è ancora 180°.
Se contiene il vertice, comunque sia disposto attorno ad esso, piccolo o grande, la somma è: 180° + q.
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Per capire, puoi tagliare il tuo posicone e appiattirlo. Allora il tuo angolo q appare chiaramente.
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...Puoi facilmente verificare che le due rette AH e possiamo quindi verificare facilmente che le rette SH e SH' formano un angolo uguale a q.
... Un cono è una superficie che può essere appiattita, dopo averla tagliata lungo una linea contenente il vertice. In francese diciamo che è una superficie "développable", ma non trovo la parola inglese nel mio dizionario. Stessa cosa per un cilindro.
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...Puoi tracciare linee geodetiche su un cilindro, con la tua striscia di nastro adesivo. Ma, dopo aver eseguito il tuo taglio e aver appiattito il cilindro, le tue linee geodetiche diventano... rette.
Puoi anche far rotolare tali superfici (cono, cilindro) su un piano. Figura seguente.
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...Puoi tracciare una geodetica su un cono o su un cilindro con l'inchiostro, e poi farlo rotolare su un piano, usandolo come matrice di stampa. Allora, sul tuo piano, stamperai delle rette.
...Viceversa, se tracci delle rette sul tuo piano e fai rotolare il cono o il cilindro su di esso, prima che l'inchiostro si asciughi, stamperai su di esso delle geodetiche.
