(positiva) Curvatura.
Quando disegniamo un triangolo, usando il nostro nastro adesivo, su un piano, la somma del valore degli angoli è 180°. Questa è una superficie euclidea. Diremo che non contiene curvatura. È davvero una superficie piatta. La somma degli angoli del nostro triangolo è la somma euclidea. Quando abbiamo disegnato il triangolo sul nostro cono, il nostro "posicono", e quando il vertice S era all'esterno di esso, la somma era ancora 180°. Al contrario, quando il vertice era all'interno, la somma era 180° più l'angolo q (il taglio che siamo riusciti a costruire per il nostro posicono, vedi figura (8)).
Questo vertice è un punto peculiare della superficie, un punto conico, e diremo che contiene una curvatura concentrata (positiva). È un punto di curvatura concentrata (positiva).
Ora possiamo gestire due tagli, corrispondenti agli angoli q1 e q2. Vedi figura (13). Poi otteniamo una strana superficie con due punti conici S1 e S2. Vedi figura (14).
(13)
(14)
Ora puoi disegnare quanti triangoli geodetici vuoi, corrispondenti a casi diversi.
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Se non contengono alcun vertice conico, la somma degli angoli è 180°.
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Se contengono il vertice S1, la somma è 180° più q1.
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Se contengono i due vertici, q1 e q2, la somma è 180° + q1 + q2
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Immagina ora di poter realizzare un gran numero di piccoli posiconi e di incollarli insieme, come mostrato nella figura (16). Ogni piccolo posicono corrisponde a un angolo elementare Dq. Puoi disporre questi mini-coni in modo regolare. Intendo: la distanza tra un vertice e i vertici dei mini-coni vicini sarebbe quasi costante ovunque.
(16)
Se i tuoi mini-coni diventano sempre più piccoli, così come il loro angolo elementare associato Dq, costruirai una porzione di superficie regolare con densità di curvatura costante.
Una sfera è una superficie con densità di curvatura locale costante. In modo più semplice, si dice che la sfera è una superficie a curvatura costante.
Se disponi i tuoi mini-coni diversamente, puoi costruire una superficie a densità di curvatura locale variabile. Per esempio un uovo. L'uovo di una gallina è una superficie a densità di curvatura locale variabile. Ma una pallina da ping-pong è una superficie a densità di curvatura costante. È per questo che la gallina riconosce il suo uovo e lo distingue dalla pallina da ping-pong. Traccia geodetiche con nastro adesivo, e così via...
In realtà, la gallina non traccia fisicamente le geodetiche sull'oggetto. Lo fa mentalmente.
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Nella relatività generale si identifica la densità di massa r con la curvatura locale.
Naturalmente il terreno di gioco della relatività generale non è una superficie 2d. Puoi immaginare un'ipersuperficie 3d. Puoi immaginare un'ipersfera 3d. Ma chi può immaginare un'ipersuperficie 4d?
A proposito, la curvatura 4d dell'ipersuperficie 4d chiamata "universo" ha caratteristiche speciali che non esploreremo qui. Questo mostra che i modelli didattici sono limitati. Ma sono buoni per stimolare l'immaginazione e per aprire la mente verso mondi un po' diversi.
